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九年级数学上思维特训(十四)有答案:反比例函数的综合应用
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/10/11  
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思维特训(十四) 反比例函数的综合应用
/
与反比例函数图象有关的探索问题主要体现在两个方面,一是探索存在性,二是探究图形的形状及数量关系等.解决有关问题需要把反比例函数的图象及图形的性质等综合在一起,还有要注意一些数学思想的灵活应用.
/
类型一 存在性问题
1.如图14-S-1,一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数y=(k2≠0)的图象相交于点A(-1,2),B(m,-1).
(1)求这两个函数的表达式.
(2)在x轴上是否存在点P(n,0)(n>0),使△ABP为等腰三角形?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.
/
图14-S-1




2.如图14-S-2,一次函数y=-x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,以线段AB为边在第一象限作等边三角形ABC.
(1)若点C在反比例函数y=的图象上,求该反比例函数的表达式.
(2)点P(2,m)在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,当△PAD与△OAB相似时,P点是否在(1)中的反比例函数图象上?如果在,求出P点的坐标;如果不在,请加以说明.
/
图14-S-2





3.2017·牡丹江已知:如图14-S-3,直线y=x+b与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,线段OA的长是方程x2-7x-8=0的一个根,请解答下列问题:
(1)求点B的坐标.
(2)双曲线y=(k≠0,x>0)与直线AB交于点C,且AC=5,求k的值.
(3)在(2)的条件下,点E在线段AB上,AE=,直线l⊥y轴,垂足为P(0,7),点M在直线l上,坐标平面内是否存在点N,使以点C,E,M,N为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
/
图14-S-3






类型二 探索关系问题
4.如图14-S-4,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的图象与直线y=x-2相交于点A(3,m).
(1)求k,m的值.
(2)已知点P(n,n)(n>0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y=(x>0)的图象于点N.
①当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由;
②若PN≥PM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.
/
图14-S-4









5.2017·德州有这样一个问题:探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=x与y=(k≠0)的图象的性质.
小明根据学习函数的经验,对函数y=x与y=,当k>0时的图象性质进行了探究.
下面是小明的探究过程:
(1)如图14-S-5所示,设函数y=x与y=(k≠0)图象的交点为A,B,已知点A的坐标为(-k,-1),则点B的坐标为________;
(2)若P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.
①设直线PA交x轴于点M,直线PB交x轴于点N.求证:PM=PN.
证明过程如下:设P(m,),直线PA的函数表达式为y=ax+b(a≠0).
则解得
∴直线PA的函数表达式为________.
请你把上面的解答过程补充完整,并完成剩余的证明.
②当P点坐标为(1,k)(k≠1)时,判断△PAB的形状,并用含k的式子表示出△PAB的面积.
/
图14-S-5

详解详析
1.解:(1)把A(-1,2)代入y=,得到k2=-2,
∴反比例函数的表达式为y=-.
∵点B(m,-1)在反比例函数y=-的图象上,
∴m=2,由题意得点A(-1,2),B(2,-1)在一次函数y=k1x+b的图象上,∴
解得
∴一次函数的表达式为y=-x+1.
(2)∵A(-1,2),B(2,-1),∴AB=3.
当PA=PB时,(n+1)2+22=(n-2)2+1,
∴n=0.∵n>0,∴n=0不合题意,舍去;
当AP=AB时,22+(n+1)2=(3)2.
∵n>0,∴n=-1+;
③当BP=BA时,12+(n-2)2=(3)2.
∵n>0,∴n=2+.
综上所述,n=-1+或2+.
2.解:(1)在y=-x+1中,令y=0可得x=,令x=0可得y=1,∴A(,0),B(0,1),
∴∠BAO=30°.
∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,
∴∠CAO=90°.
在Rt△BOA中,由勾股定理可得AB=2,
∴AC=2,∴C(,2).
∵点C在反比例函数y=的图象上,∴k=2×=2,∴反比例函数的表达式为y=.
(2)∵点P(2,m)在第一象限,∴AD=OD-OA=2-=,PD=m.
当△ADP∽△AOB时,则有=,即=,解得m=1,此时P点坐标为(2,1);
当△PDA∽△AOB时,则有=,
即=,解得m=3,
此时P点坐标为(2,3).
把P(2,3)代入y=可得3≠,∴点P(2,3)不在反比例函数图象上;
把P(2,1)代入y=可得1=,∴点P(2,1)在反比例函数图象上.
综上可知,P点坐标为(2,1).
3.解:(1)解方程x2-7x-8=0得x=8或x=-1.
∵线段OA的长是方程x2-7x-8=0的一个根,∴OA=8,∴A(-8,0).
将A(-8,0)代入y=x+b,得-4+b=0,
∴b=4,∴B(0,4).
(2)在Rt△AOB中,OA=8,OB=4,∴AB=4.
如图①,过点C作CH⊥x轴于点H,
则CH∥OB,∴△AOB∽△AHC,
∴==,即==,
解得CH=5,AH=10,
∴OH=10-8=2,∴C(2,5).
∵双曲线y=(k≠0,x>0)经过点C,
∴k=2×5=10.
/
(3)存在,分两种情况:
①当CE为以点C,E,M,N为顶点的矩形的一边时,过点E作EG⊥x轴于点G,作EM⊥AC交直线l于点M,如图②所示,∴EG∥OB,
∴△AGE∽△AOB,
∴====,
∴EG=OB=1,AG=AO=2,
∴OG=8-2=6,∴E(-6,1).
∵EM⊥AC,∴设直线EM的函数表达式为y=-2x+c,把E(-6,1)代入,得12+c=1,
解得c=-11,∴直线EM的函数表达式为y=-2x-11,当y=7时,7=-2x-11,∴x=-9,
∴M(-9,7).
∵C(2,5),∴点N的坐标为(-1,11);
当CE为以点C,E,M,N为顶点的矩形的一边时,同理得出满足条件的另一点N的坐标为(-7,3);
/
②当CE为以点C,E,M,N为顶点的矩形的对角线时,分别过点E,C作EG⊥l于点G,CH⊥l于点H,如图③所示,则∠EGM=∠MHC=90°,EG=7-1=6,CH=7-5=2.
∵四边形EMCN是矩形,∴∠EMC=90°,由角的互余关系得∠GEM=∠HMC,
∴△EGM∽△MHC,∴=,
∴GM·MH=CH·EG=2×6=12.
又∵GM+MH=6+2=8,∴GM=2,MH=6,
∴点M的坐标为(-4,7).
∵E(-6,1),C(2,5),∴N(0,-1);
当CE为以点C,E,M,N为顶点的矩形的对角线时,同理得出满足条件的另一点N的坐标为(-4,-1).
综上所述,存在点N,使以点C,E,M,N为顶点的四边形是矩形,点N的坐标为(-1,11)或(-7,3)或
(-4,-1)或(0,-1).
/
4.解:(1)将A(3,m)代入y=x-2,得m=3-2=1,∴A(3,1).将A(3,1)代入y=,得k=3×1=3.
(2)①PM=PN.理由:当n=1时,P(1,1),把y=1代入y=x-2,得x-2=1,∴x=3,∴M(3,1),∴PM=2.把x=1代入y=,得y=3,
∴N(1,3),∴PN=2,∴PM=PN.
②P(n,n),点P在直线y=x上,过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,
/
M(n+2,n),∴PM=2.同理可得PN=|-n|.∵PN≥PM,即PN≥2,即|3-n2|≥2n,
即或
解得0<n≤1或n≥3.
5.解:(1)由正、反比例函数图象的对称性可知,点A,B关于原点O对称,
∵点A的坐标为(-k,-1),
∴点B的坐标为(k,1).
(2)①证明过程如下,设P(m,),直线PA的函数表达式为y=ax+b(a≠0).
则解得
∴直线PA的函数表达式为y=x+-1.
当y=0时,x=m-k,
∴点M的坐标为(m-k,0).
过点P作PH⊥x轴于点H,如图①所示,∵点P的坐标为(m,),∴点H的坐标为(m,0),
∴MH=xH-xM=m-(m-k)=k.同理可得HN=k,∴PM=PN.
/   /
②由①可知,在△PMN中,PM=PN,∴△PMN为等腰三角形,且MH=HN=k.
当P点坐标为(1,k)时,PH=k,∴MH=HN=PH,∴∠PMH=∠MPH=45°,∠PNH=∠NPH=45°,
∴∠MPN=90°,即∠APB=90°,∴△PAB为直角三角形.
当k>1时,如图①,S△PAB=S△PMN-S△OBN+S△OAM=MN·PH-ON·yB+OM·|yA|=×2k×k-(k+1)×1+(k-1)×1=k2-1;
当0<k<1时,如图②,S△PAB=S△OBN-S△PMN+S△OAM=ON·yB-k2+OM·|yA|=(k+1)×1-k2+ (1-k)×1=1-k2.
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