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九年级上思维特训(十一)有答案:相似三角形中的辅助线作法归类
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/10/11  
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思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类
/
在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段,或得出等角、等边,从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系.
作辅助线的方法主要有以下几种:
(1)作平行线构造“A”型或“X”型相似;(2)作平行线转换线段比;(3)作垂直证明相似.
/
图11-S-1
/
类型一 作平行线构造“A”型或“X”型相似
1.如图11-S-2,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为AB延长线上一点,OE交BC于点F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF的长.
/
图11-S-2



2.如图11-S-3,在△ABC中,AD为BC边上的中线,CF为任一直线,CF交AD于点E,交AB于点F.
求证:=.
/
图11-S-3





3.在一节数学课上,老师出示了这样一个问题让学生探究:如图11-S-4,在△ABC中,D是BA延长线上一动点,点F在BC上,且=,连接DF交AC于点E.
(1)如图①,当E恰为DF的中点时,请求出的值;
(2)如图②,当=a(a>0)时,请求出的值(用含a的代数式表示).
思考片刻后,同学们纷纷表达自己的想法:
甲:过点F作FG∥AB交AC于点G,构造相似三角形解决问题;
乙:过点F作FG∥AC交AB于点G,构造相似三角形解决问题;
丙:过点D作DG∥BC交CA的延长线于点G,构造相似三角形解决问题.
老师说:“这三位同学的想法都可以”.
请参考上面某一种想法,完成第(1)问的求解过程,并直接写出第(2)问中的值.
/
图11-S-4









类型二 作平行线转换线段的比
4.如图11-S-5,B为AC的中点,E为BD的中点,求的值.
/
图11-S-5







5.如图11-S-6,已知等边三角形ABC,D为AC边上的一动点,CD=nDA,连接BD,M为线段BD上一点,∠AMD=60°,连接AM并延长交BC于点E.
(1)若n=1,则=______,=______;
(2)若n=2,如图②,求证:BM=6DM;
(3)当n=________时,M为BD的中点(直接写出结果,不要求证明).
/
图11-S-6









6.2017·朝阳已知:如图11-S-7,在△ABC中,点D在AB上,E是BC的延长线上一点,且AD=CE,连接DE交AC于点F.
(1)猜想证明:如图①,在△ABC中,若AB=BC,学生们发现:DF=EF.下面是两位学生的证明思路:
思路1:过点D作DG∥BC,交AC于点G,可通过证△DFG≌△EFC得出结论;
思路2:过点E作EH∥AB,交AC的延长线于点H,可通过证△ADF≌△HEF得出结论.
……
请你参考上面的思路,证明DF=EF(只用一种方法证明即可).
(2)类比探究:在(1)的条件下(如图①),过点D作DM⊥AC于点M,试探究线段AM,MF,FC之间满足的数量关系,并证明你的结论.
(3)延伸拓展:如图②,在△ABC中,若AB=AC,∠ABC=2∠BAC,=m,请你用尺规作图在图②中作出AD的垂直平分线交AC于点N(不写作法,只保留作图痕迹),并用含m的代数式直接表示的值.
/
图11-S-7

类型三 作垂直证相似
7.如图11-S-8,在△ABC中,∠C=90°,D为边AB的中点,M,N分别为边AC,CB上的点,且DM⊥DN.
(1)求证:=;
(2)若BC=6,AC=8, CM=5,直接写出CN的长.
/
图11-S-8





8.如图11-S-9,在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD.
问题引入:
(1)如图①,当D是BC边的中点时,S△ABD∶S△ABC=________;当D是BC边上任意一点时,S△ABD∶S△ABC=________(用图中已有线段表示).
探索研究:
(2)如图②,在△ABC中,O是线段AD上一点(不与点A,D重合),连接BO,CO,试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由.
拓展应用:
(3)如图③,O是线段AD上一点(不与点A,D重合),连接BO并延长交AC于点F,连接CO并延长交AB于点E.试猜想++的值,并说明理由.
/
图11-S-9









9.如图11-S-10,已知一个直角三角形纸片ACB,其中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E,F分别是AC,AB边上的点,连接EF.
(1)如图①,若将直角三角形纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且S四边形ECBF=3S△EDF,则AE=________;
(2)如图②,若将直角三角形纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且MF∥CA,求EF的长;
(3)如图③,若FE的延长线与BC的延长线相交于点N,CN=1,CE=,求的值.
/
图11-S-10

详解详析
1.解:如图,过点O作OM∥BC交AB于点M.
/
∵O是AC的中点,OM∥BC,
∴M是AB的中点,即MB=a,
∴OM是△ABC的中位线,OM=BC=b.
∵OM∥BC,
∴△BEF∽△MEO,
∴=,
即=,∴BF=.
2.证明:如图,过点D作DG∥CF交AB于点G.
/
∵DG∥CF,D为BC的中点,
∴G为BF的中点,FG=BG=BF.
∵EF∥DG,∴===.
3.解:(1)甲同学的想法:如图①,过点F作FG∥AB交AC于点G,
/
∴△AED∽△GEF,
∴=.
∵E为DF的中点,∴ED=EF,∴AD=GF.
∵FG∥AB,∴△CGF∽△CAB,∴=.
∵=,∴=,∴===.
乙同学的想法:如图②,过点F作FG∥AC交AB于点G,
/
∴=.
∵E为DF的中点,∴ED=EF,∴AD=AG.
∵FG∥AC,∴=.
∵=,∴=,∴===.
丙同学的想法:如图③,过点D作DG∥BC交CA的延长线于点G,
/
∴∠C=∠G,∠CFE=∠GDE,∴△GDE∽△CFE,∴=.
∵E为DF的中点,
∴ED=EF,
∴GD=CF.
∵DG∥BC,∴∠C=∠G,∠B=∠ADG,
∴△ADG∽△ABC,
∴=.∵=,∴=.
∴===.
(2)如图④,过点D作DG∥BC交CA的延长线于点G,
/
∴∠C=∠G,∠CFE=∠GDE,∴△GDE∽△CFE,∴=.
∵=a,∴ED=aEF,
∴DG=aCF.
∵DG∥BC,∴∠C=∠G,∠B=∠ADG,
∴△ADG∽△ABC,
∴=.
∵=,∴=,即BC=3CF.
∴===.
4.解:取CF的中点G,连接BG.
∵B为AC的中点,∴=,且BG∥AF.
又E为BD的中点,∴F为DG的中点,
∴=,∴=,
∴=.
5.解:(1)当n=1时,CD=DA.
∵△ABC是等边三角形,
∴BD⊥AC,∠BAC=60°,∴∠ADM=90°.
又∵∠AMD=60°,
∴∠MAD=30°,
∴∠BAE=∠BAC-∠MAD=30°,
即∠BAE=∠EAD,
∴AE为△ABC的中线,∴=1.
在△AMD中,DM=AM(30°角所对的直角边等于斜边的一半).
∵∠BAM=∠ABM=30°,∴AM=BM,
∴=2.
(2)证明:∵∠AMD=∠ABD+∠BAE=60°,
∠CAE+∠BAE=60°,∴∠ABD=∠CAE.
又∵BA=AC,∠BAD=∠ACE=60°,
∴△BAD≌△ACE(ASA),
/
∴AD=CE,∴CD=BE.
如图,过点C作CF∥BD交AE的延长线于点F,
∴===①,==②,
由①×②得=,∴BM=6DM.
(3)∵M为BD的中点,∴BM=MD.
∵△BAD≌△ACE,
∴AD=CE,∴CD=BE.
∵△AMD∽△ACE,△BME∽△BCD,
∴=,=,
∴AD=③,CD=④,
由③×④得CD=DA,∴n=.
6.解:(1)思路1:如图①,过点D作DG∥BC,交AC于点G.
/
∵AB=BC,∴∠A=∠BCA.
∵DG∥BC,∴∠DGA=∠BCA,∠DGF=∠ECF,
∴∠A=∠DGA,∴DA=DG.
∵AD=CE,∴DG=CE.
又∵∠DFG=∠EFC,∴△DFG≌△EFC,
∴DF=EF.
思路2:如图②,过点E作EH∥AB,交AC的延长线于点H.
/
∵AB=BC,∴∠A=∠BCA.
∵EH∥AB,∴∠A=∠H.
∵∠ECH=∠BCA,∴∠H=∠ECH,∴CE=EH.
∵AD=CE,∴AD=EH.
又∵∠AFD=∠HFE,∴△DFA≌△EFH,
∴DF=EF.
(2)结论:MF=AM+FC.证明:如图③,
/
由思路1可知:DA=DG,△DFG≌△EFC,∴FG=FC.
∵DM⊥AG,∴AM=GM.
∵MF=FG+GM,
∴MF=AM+FC.
(3)AD的垂直平分线交AC于点N,如图④所示.
/
连接DN,过点D作DG∥CE交AC于点G.设DG=a,BC=b,则AB=AC=mb,AD=AG=ma.
∵∠ABC=2∠BAC,
设∠BAC=x,则∠B=∠ACB=2x,∴5x=180°,∴x=36°,∴∠A=36°.
∵NA=ND,∴∠A=∠ADN=36°.
∵∠ADG=∠B=72°,∴∠NDG=∠A=36°.
又∵∠DGN=∠AGD,∴△GDN∽△GAD,
∴DG2=GN·GA.
易知DG=DN=AN=a,∴a2=(ma-a)·ma,两边同除以a,得m2a-ma-a=0.
∵DG∥CE,
∴DG∶CE=FG∶FC=DG∶DA=1∶m.
∵CG=mb-ma,∴FG=·m(b-a),
∴FN=GN+FG=ma-a+m(b-a)==,
∴==.
7.解:(1)证明:如图,过点D作DP⊥BC于点P,DQ⊥AC于点Q,
/
∴∠DQM=∠DPN=90°.
又∵∠C=90°,∴四边形CPDQ为矩形,∴∠QDP=90°,即∠MDQ+∠MDP=90°.
∵DM⊥DN,∴∠MDN=90°,即∠MDP+∠NDP=90°,∴∠MDQ=∠NDP,∴△DMQ∽△DNP,∴=.
∵D为AB的中点,DQ∥BC,DP∥AC,∴DQ=BC,DP=AC,∴=,∴=.
(2)由题意得AQ=CQ=4,MQ=CM-CQ=5-4=1,
DQ=BC=3,DP=AC=4.
∵△DMQ∽△DNP,∴=,∴NP=.
又CP=PB=3,∴CN=3-=.
8.解:(1)1∶2 BD∶BC
(2)猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于OD∶AD.
理由:如图,分别过点O,A作BC的垂线OE,AF,垂足分别为E,F,
∴OE∥AF,
∴OD∶AD=OE∶AF.
∵S△BOC=BC·OE,S△ABC=BC·AF,
∴S△BOC∶S△ABC=∶=OE∶AF=OD∶AD.
/
(3)猜想++的值是1.理由如下:
由(2)可知:++=++===1.
9.解:(1)∵将△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,
∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,∴S△AEF=S△DEF.
∵S四边形ECBF=3S△EDF,∴S△ABC=4S△AEF.
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB=5.
∵∠EAF=∠BAC,∴Rt△AEF∽Rt△ABC,
∴=()2,即()2=,∴AE=2.5.
(2)连接AM交EF于点O,如图①,
/
∵将△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE.
∵MF∥CA,∴∠AEF=∠MFE,
∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,
∴AE=EM=MF=AF,
∴四边形AEMF为菱形.
设AE=x,则EM=x,CE=4-x.
∵四边形AEMF为菱形,
∴EM∥AB,∴△CME∽△CBA,
∴==,
即==,解得x=,CM=.
在Rt△ACM中,AM==.
∵S菱形AEMF=EF·AM=AE·CM,
∴EF=2×=.
(3)如图②,过点F作FH⊥BC于点H,
∵EC∥FH,∴△NCE∽△NHF,
/
∴CN∶NH=CE∶FH,即1∶NH=∶FH,∴FH∶NH=4∶7.
设FH=4x,NH=7x,则CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x.
∵FH∥AC,∴△BFH∽△BAC,∴BH∶BC=FH∶AC,即(4-7x)∶3=4x∶4,解得x=0.4,∴FH=4x=,BH=4-7x=.
在Rt△BFH中,BF==2,
∴AF=AB-BF=5-2=3,∴=.
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