九年级上思维特训(七)：一元二次方程根与系数关系的运用技巧_docx下载

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思维特训(七)　一元二次方程根与系数关系的运用技巧
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一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实数根分别是x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.这是一元二次方程根与系数的关系，运用这一关系可解决下列问题：
(1)已知方程的一个根，求另一个根．方法：利用两根之和或两根之积列方程求解；
(2)求与两根有关的代数式的值．方法：将所给的代数式变形，使其出现两根之和或两根之积；
(3)求方程中字母系数的值．方法：根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于字母系数的方程或不等式；
(4)求作方程．方法：逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项．
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类型一　已知一根求另一根
1．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1，且a＝＋－2，求方程的另一个根．

2．已知关于x的一元二次方程mx2－(m－4)x－m2＝0的一个根是1，求方程的另一个根．

类型二　求与两根有关的代数式的值
3．2017·仙桃若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为(　　)
A．－13 B．12 C．14 D．15
4．已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两个实数根分别为α，β，不解方程求下列各式的值．
(1)α2＋β2；　　　(2)α3β＋αβ3；

(3)＋；　　　(4)(α－1)(β－1)．

5．设x1，x2是方程x2－x－2017＝0的两个实数根，求x13＋2018x2－2017的值．

6．已知关于x的方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若α，β是这个方程的两个实数根，求＋的值；
(3)根据(2)的结果你能得出什么结论？

类型三　求字母系数的值
7．已知关于x的方程x2＋2mx－(m＋1)＝0，若两根倒数的和比两根倒数的积小1，求m的值．

8．已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．

9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(3a－1)x＋2a2－1＝0的两个实数根，使得(3x1－x2)(x1－3x2)＝－80成立，求实数a的可能值．

类型四　已知两根作新方程
10．如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
(2)已知a，b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；
(3)已知a，b，c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．

详解详析
1．解：∵a＝＋－2，∴4－c≥0且c－4≥0，解得c＝4，∴a＝－2.
设方程的另一个根为x，
则x·(－1)＝＝＝－2，∴x＝2.
即方程的另一个根为2.
2．解：∵关于x的一元二次方程mx2－(m－4)x－m2＝0的一个根是1，∴m－(m－4)－m2＝0，
解得m＝±2.
∴方程变为x2－3x＋2＝0或x2＋x－2＝0.
设方程的另一个根为x，则x·1＝2或x·1＝－2，
∴x＝2或－2，
∴方程的另一个根为2或－2.
3．B　[解析]∵α为方程2x2－5x－1＝0的实数根，
∴2α2－5α－1＝0，即2α2＝5α＋1，
∴2α2＋3αβ＋5β＝5α＋1＋3αβ＋5β＝5(α＋β)＋3αβ＋1.
∵α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，
∴α＋β＝，αβ＝－，∴2α2＋3αβ＋5β＝5×＋3×(－)＋1＝12.故选B.
4．[解析]由根与系数的关系，得α＋β＝－3，αβ＝－1，把要求的代数式分别用α＋β，αβ表示，代入求值．
解：∵α，β是一元二次方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，
∴α＋β＝－3，αβ＝－1.
(1)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－3)2－2×(－1)＝11.
(2)α3β＋αβ3＝αβ(α2＋β2)＝(－1)×11＝－11.
(3)＋＝＝＝－11.
(4)(α－1)(β－1)＝αβ－(α＋β)＋1＝(－1)－(－3)＋1＝3.
5．解：∵x2－x－2017＝0，
∴x2＝x＋2017，x＝x2－2017.
又∵x1，x2是方程x2－x－2017＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝1，
∴x13＋2018x2－2017
＝x1·x12＋2017x2＋x2－2017
＝x1·(x1＋2017)＋2017x2＋x2－2017
＝x12＋2017x1＋2017x2＋x2－2017
＝(x1＋2017)＋2017x1＋2017x2＋x2－2017
＝x1＋x2＋2017(x1＋x2)＋2017－2017
＝1＋2017
＝2018.
6．解：(1)Δ＝4＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即4＋4k＞0，
∴k＞－1.
(2)由根与系数的关系可知α＋β＝－2，αβ＝－k，
∴＋
＝
＝
＝＝2.
(3)当k＞－1时，＋的值与k无关．
7．解：设方程的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝－(m＋1)，
由题意可知＋－＝－1，即－＝－1，∴－＝－1，解得m＝－.
此时Δ＝4m2＋4(m＋1)＝4(m2＋m＋1)＝4×(－＋1)＝＞0，符合题意，
∴m＝－.
8．解：(1)根据题意，得
Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0，
解得a≥0.
又∵a－6≠0，∴a≠6.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，
x1x2＝.
由－x1＋x1x2＝4＋x2，得x1＋x2＋4＝x1x2，
∴－＋4＝，解得a＝24.
经检验，a＝24是方程－＋4＝的解．
∴存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．
(2)(x1＋1)(x2＋1)＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－＋＋1＝.
∵为负整数，
∴6－a为－1或－2，－3，－6，
解得a＝7或8或9或12.
9．解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(3a－1)x＋2a2－1＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝－(3a－1)，x1·x2＝2a2－1，
而(3x1－x2)(x1－3x2)＝－80，
∴3x12－10x1x2＋3x22＝－80，
3(x1＋x2)2－16x1x2＝－80，
∴3[－(3a－1)]2－16(2a2－1)＝－80，
∴5a2＋18a－99＝0，∴a＝3或a＝－.
当a＝3时，方程x2＋(3a－1)x＋2a2－1＝0的Δ＜0，
∴a＝3不合题意，舍去，
∴a＝－.
10．解：(1)设关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两个根为x1，x2，
∴x1＋x2＝－m，x1·x2＝n，
∴＋＝＝－，·＝，
∴所求一元二次方程为x2＋x＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0.
(2)①当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根，
∴a＋b＝15，ab＝－5，
∴＋＝＝＝＝－47.
②当a＝b时，＋＝1＋1＝2.
综上可知，＋＝－47或2.
(3)∵a＋b＋c＝0，abc＝16，
∴a＋b＝－c，ab＝，
∴a，b是关于x的一元二次方程x2＋cx＋＝0的两根，
∴Δ＝c2－≥0.
∵c＞0，∴c3≥64，∴c≥4，
∴正数c的最小值为4.

人教版九年级上册

22.3 实际问题与一元二次方程

22.2 降次——解一元二次方程

数学试题

数学毕业类试题


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