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2017年辽宁省丹东市中考数学试卷(有答案)
所属科目:中考试题    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2018/4/24  
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2017年辽宁省丹东市中考数学试卷
 
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(3分)﹣5的相反数是(  )
A. B.5 C.﹣ D.﹣5
2.(3分)一个正方体的平面展开图如图所示,每一个面都有一个汉字,则在该正方体中和“静”字相对的汉字是(  )

A.细 B.心 C.规 D.范
3.(3分)据《中国教育报》近期报道,4年来全国在义务教育阶段经费累计投入2.37万亿元,数据2.37万亿用科学记数法表示为(  )亿.
A.2.37×103 B.2.37×104 C.2.37×105 D.0.237×106
4.(3分)下列事件是必然事件的是(  )
A.车辆随机经过一个路口,遇到红灯
B.任意买一张电影票,座位号是2的整数倍
C.在地球上,上抛出去的篮球会下落
D.打开电视机,任选一个频道,正在播放世乒赛
5.(3分)如图,直线l1∥l2,则α=(  )

A.160° B.150° C.140° D.130°
6.(3分)下列计算结果正确的是(  )
A.m3+m4=m7 B.(m3)4=m81 C.m4÷m3=m D.m4?m3=m12
7.(3分)如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置,此时点D恰好与AF的中点重合,AE交CD于点H,若BC=,则HC的长为(  )

A.4 B. C. D.6
8.(3分)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=2AC,点A(2,0)、B(0,4),点C在第一象限内,双曲线y=(x>0)经过点C.将△ABC沿y轴向上平移m个单位长度,使点A恰好落在双曲线上,则m的值为(  )

A.2 B. C.3 D.
 [来源:]
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.(3分)因式分解:3ax2﹣3ay4=   .
10.(3分)一组数据2,x,4,3,3的平均数是3,则这组数据的中位数是   .
11.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,AD是△ABC的角平分线,若CD=,则△ABD的面积为   .

12.(3分)不等式组的解集为   .
13.(3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,M、N分别为边AB、BC的中点,连接MN.若MN=1,BD=,则菱形的周长为   .

14.(3分)某班共有学生45人,其中男生的2倍比女生的3倍少10人.设该班的男生有x人,女生有y人,请列出满足题意的方程组   .
15.(3分)如图,观察各图中小圆点的摆放规律,并按这样的规律继续摆放下去,则第10个图形中小圆点的个数为   .

16.(3分)如图,在△ABC中,∠A=90°,AC=3,AB=4.动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动;同时动点Q从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿B→C→A匀速运动.当点Q到达点A时,P、Q两点同时停止运动,过点P的一条直线与BC交于点D.设运动时间为t秒,当t为   秒时,将△PBD沿PD翻折,使点B恰好与点Q重合.

 
三、解答题(每小题8分,共16分)
17.(8分)计算:(3﹣π)0﹣()﹣1+|2﹣|+2cos45°
18.(8分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示.(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°,画出旋转后得到的△A2BC2,并直接写出此过程中线段BA扫过图形的面积(结果保留π)

 
四、解答题(每小题10分,共20分)
19.(10分)某中学为了了解本校学生喜爱的球类运动,在本校范围内随机调查了部分学生,将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息解答下列问题:

(1)本次一共调查了多少名学生?
(2)补全条形统计图;
(3)求“足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数;
(4)若已知该校有500名学生,请你根据调查的结果估计爱好“足球”和“排球”的学生共有多少人?
20.(10分)小明到离家2.8千米的学校参加文艺汇演,骑自行车到学校比他步行到学校用时少30分钟,且骑自行车的速度是步行速度的4倍,求小明步行的速度(单位:米/分)是多少?
 
五、解答题(每小题10分,共20分)
21.(10分)在一个不透明的盒子中,装有一个红球和两个白球,它们除了颜色外其余都相同,现任意拿出一个球,记下球的颜色,然后放回盒中,搅匀后再任意拿出一个球,记下球的颜色.
(1)若随机地从盒子中拿出一个球,则拿出“白球”的概率是   ;
(2)请你用列表法或画树状图的方法,求恰好拿到“一红、一白”球的概率.
22.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,E是AB上一点,以CE为直径的⊙O交BC于点F,连接DO,且∠DOC=90°.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若DF=2,DC=6,求BE的长.

 
六、解答题(每小题10分,共20分)
23.(10分)小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为53°和45°,已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为75m,请求出热气球离地面的高度.(参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈).

24.(10分)某超市销售一种成本为每台20元的台灯,规定销售单价不低于成本价,又不高于每台32元.销售中平均每月销售量y(台)与销售单价x(元)的关系可以近似地看做一次函数,如下表所示:
x
22
24
26
28

y
90
80
70
60

(1)请直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)为了实现平均每月375元的台灯销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时每月应购进台灯多少个?
(3)设超市每月台灯销售利润为ω(元),求ω与x之间的函数关系式,当x取何值时,ω的值最大?最大值是多少?
 
七、解答题(本题12分)
25.(12分)已知:△ABC和△ADE按如图所示方式放置,点D在△ABC内,连接BD、CD和CE,且∠DCE=90°.
(1)如图①,当△ABC和△ADE均为等边三角形时,试确定AD、BD、CD三条线段的关系,并说明理由;
(2)如图②,当BA=BC=2AC,DA=DE=2AE时,试确定AD、BD、CD三条线段的关系,并说明理由;
(3)如图③,当AB:BC:AC=AD:DE:AE=m:n:p时,请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系.
 
八、解答题(本题14分)
26.(14分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的一边AB在x轴上,∠ABC=90°,点C(4,8)在第一象限内,AC与y轴交于点E,抛物线y=+bx+c经过A、B两点,与y轴交于点D(0,﹣6).

(1)请直接写出抛物线的表达式;
(2)求ED的长;
(3)点P是x轴下方抛物线上一动点,设点P的横坐标为m,△PAC的面积为S,试求出S与m的函数关系式;
(4)若点M是x轴上一点(不与点A重合),抛物线上是否存在点N,使∠CAN=∠MAN.若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
 

2017年辽宁省丹东市中考数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(3分)﹣5的相反数是(  )
A. B.5 C.﹣ D.﹣5
【解答】解:﹣5的相反数是5,
故选:B.
 
2.(3分)一个正方体的平面展开图如图所示,每一个面都有一个汉字,则在该正方体中和“静”字相对的汉字是(  )

A.细 B.心 C.规 D.范
【解答】解:∵正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,
∴“细”与“心”是相对面,“冷”与“规”是相对面,“静”与“范”是相对面.
故选:D.
 
3.(3分)据《中国教育报》近期报道,4年来全国在义务教育阶段经费累计投入2.37万亿元,数据2.37万亿用科学记数法表示为(  )亿.
A.2.37×103 B.2.37×104 C.2.37×105 D.0.237×106
【解答】解:由题可得:2.37万亿=23700亿=2.37×104.
故选:B.
 
4.(3分)下列事件是必然事件的是(  )
A.车辆随机经过一个路口,遇到红灯
B.任意买一张电影票,座位号是2的整数倍
C.在地球上,上抛出去的篮球会下落
D.打开电视机,任选一个频道,正在播放世乒赛
【解答】解:A.车辆随机经过一个路口,遇到红灯,是随机事件;B.任意买一张电影票,座位号是2的整数倍,是随机事件;
C.在地球上,上抛出去的篮球会下落,是必然事件;
D.打开电视机,任选一个频道,正在播放世乒赛,是随机事件;
故选:C.
 
5.(3分)如图,直线l1∥l2,则α=(  )

A.160° B.150° C.140° D.130°
【解答】解:如图,∵∠β=180°﹣120°=60°,
∴∠ACB=60°+70°=130°,
∵直线l1∥l2,
∴∠α=∠ACB=130°,
故选:D.

 
6.(3分)下列计算结果正确的是(  )
A.m3+m4=m7 B.(m3)4=m81 C.m4÷m3=m D.m4?m3=m12
【解答】解:A.m3+m4≠m7,错误;
B.(m3)4≠m81,错误;
C.m4÷m3=m,正确;
D.m4?m3≠m12,错误;
故选:C.
 
7.(3分)如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置,此时点D恰好与AF的中点重合,AE交CD于点H,若BC=,则HC的长为(  )

A.4 B. C. D.6
【解答】解:由旋转的性质可知:AC=AF,
∵D为AF的中点,
∴AD=AC,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD⊥CD,
∴∠ACD=30°,
∵AB∥CD,
∴∠CAB=30°,
∴∠EAF=∠CAB=30°,
∴∠EAC=30°,
∴AH=CH,
∴DH=AH=CH,
∴CH=2DH,
∵CD=AD=BC=6,
∴HC=CD=4.
故选:A.

 
8.(3分)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=2AC,点A(2,0)、B(0,4),点C在第一象限内,双曲线y=(x>0)经过点C.将△ABC沿y轴向上平移m个单位长度,使点A恰好落在双曲线上,则m的值为(  )

A.2 B. C.3 D.
【解答】解:作CH⊥x轴于H.

∵A(2,0)、B(0,4),
∴OA=2,OB=4,
∵∠ABO+∠OAB=90°,∠OAB+∠CAH=90°,
∴∠ABO=∠CAH,∵∠AOB=∠AHC,
∴△ABO∽△CAH,
∴===2,
∴CH=1,AH=2,
∴C(4,1),
∵C(4,1)在y=上,
∴k=4,
∴y=,
当x=2时,y=2,
∵将△ABC沿y轴向上平移m个单位长度,使点A恰好落在双曲线上,
∴m=2,
故选:A.
 
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.(3分)因式分解:3ax2﹣3ay4= 3a(x+y2)(x﹣y2) .
【解答】解:原式=3a(x2﹣y4)=3a(x+y2)(x﹣y2),
故答案为:3a(x+y2)(x﹣y2)
 
10.(3分)一组数据2,x,4,3,3的平均数是3,则这组数据的中位数是 3 .
【解答】解:∵数据2,x,4,3,3的平均数是3,
∴(2+x+4+3+3)÷5=3,
∴x=3,
把这组数据从小到大排列为:2,3,3,3,4,
则这组数据的中位数为3;
故答案为:3.
 
11.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,AD是△ABC的角平分线,若CD=,则△ABD的面积为  .

【解答】解:作DE⊥AB于E.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=CD=3.
∴△ABD的面积为×5×=.
故答案是:.
 
12.(3分)不等式组的解集为 x> .
【解答】解:
由①得,x>,
由②得,x>,
故不等式组的解集为:x>,
故答案为x>.
 
13.(3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,M、N分别为边AB、BC的中点,连接MN.若MN=1,BD=,则菱形的周长为 8 .

【解答】解:∵M、N是AB和BC的中点,即MN是△ABC的中位线,
∴AC=2MN=2,
∴OA=1,OB=,
在Rt△ABO中,AB=,
所以菱形的周长为8,
故答案为:8
 
14.(3分)某班共有学生45人,其中男生的2倍比女生的3倍少10人.设该班的男生有x人,女生有y人,请列出满足题意的方程组  .
【解答】解:根据题意可得,
故答案为:.
 
15.(3分)如图,观察各图中小圆点的摆放规律,并按这样的规律继续摆放下去,则第10个图形中小圆点的个数为 100 .
[来源:]
【解答】解:由题意可得,
第一个图形的小圆点的个数为:3×3=9,
第二个图形的小圆点的个数为:4×4=15,
第三个图形的小圆点的个数为:5×5=25,
……
第十个图形的小圆点的个数为:10×10=100,
故答案为:100.
 
16.(3分)如图,在△ABC中,∠A=90°,AC=3,AB=4.动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动;同时动点Q从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿B→C→A匀速运动.当点Q到达点A时,P、Q两点同时停止运动,过点P的一条直线与BC交于点D.设运动时间为t秒,当t为 或2或 秒时,将△PBD沿PD翻折,使点B恰好与点Q重合.

【解答】解:∵∠A=90°,AC=3,AB=4,
∴BC=5,
分两种情况:
①当Q在BC上时,如图1,由题意得:PA=t,BQ=4t,
由B与Q对称可知:PD⊥BQ,BD=DQ=2t,
∴PB=PQ=4﹣t
∵∠PDB=∠A=90°,∠B=∠B,
∴△PDB∽△CAB,
∴,
∴,
∴t=;
②当Q在AC上时,如图2,CQ=4t﹣5,
∴AQ=AC﹣CQ=3﹣(4t﹣5)=8﹣4t,
连接BQ,
∵B、Q对称,
∴PD是BQ的垂直平分线,
∴PB=PQ=4﹣t,
Rt△PQA中,由勾股定理得:PQ2=PA2+AQ2,
(4﹣t)2=t2+(8﹣4t)2,
2t2﹣7t+6=0,
(t﹣2)(2t﹣3)=0,
t1=2,t2=,
∵Q在AC上,
∴<t≤2,
t=2时,Q与A重合,如图3,
综上所述,当t为秒或2秒或秒时,将△PBD沿PD翻折,使点B恰好与点Q重合.
故答案为:或2或.



 
三、解答题(每小题8分,共16分)
17.(8分)计算:(3﹣π)0﹣()﹣1+|2﹣|+2cos45°
【解答】解:原式=1﹣3+2﹣2+=3﹣4.
 
18.(8分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示.(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°,画出旋转后得到的△A2BC2,并直接写出此过程中线段BA扫过图形的面积(结果保留π)

【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;


(2)如图所示,△A2BC2即为所求,
∵AB==、∠ABA2=90°,
∴此过程中线段BA扫过图形的面积为=π.
 
四、解答题(每小题10分,共20分)
19.(10分)某中学为了了解本校学生喜爱的球类运动,在本校范围内随机调查了部分学生,将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息解答下列问题:

(1)本次一共调查了多少名学生?
(2)补全条形统计图;
(3)求“足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数;
(4)若已知该校有500名学生,请你根据调查的结果估计爱好“足球”和“排球”的学生共有多少人?
【解答】解:(1)调查的学生总数=20÷20%=100(名);
(2)其它:10%×100=10(名),
足球:100﹣30﹣20﹣10=40(名),
补全条形统计图如下:

(3)“足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数=×100%×360°=144°;
(4)爱好“足球”和“排球”的学生共有×100%×500=350(名).
 
20.(10分)小明到离家2.8千米的学校参加文艺汇演,骑自行车到学校比他步行到学校用时少30分钟,且骑自行车的速度是步行速度的4倍,求小明步行的速度(单位:米/分)是多少?
【解答】解:设小明步行的速度为x米/分,则骑自行车的速度4x米/分.
由题意:﹣=30,
解得x=70,
经检验:x=70是分式方程的解.
答:小明步行的速度为70米/分.
 
五、解答题(每小题10分,共20分)
21.(10分)在一个不透明的盒子中,装有一个红球和两个白球,它们除了颜色外其余都相同,现任意拿出一个球,记下球的颜色,然后放回盒中,搅匀后再任意拿出一个球,记下球的颜色.
(1)若随机地从盒子中拿出一个球,则拿出“白球”的概率是  ;
(2)请你用列表法或画树状图的方法,求恰好拿到“一红、一白”球的概率.[来源:]
【解答】解:(1)P白球=
故答案为:
(2)列表法:

白1
白2
红

白1
白1白1
白1白2
白1红

白2
白2白1
白2白2
白2红

红
红白1
红白2
红红

从表中可以看出,可能出现的结果有9种.
其中出现一红一白的结果有4种
所以:P(一红一白)=
 
22.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D, E是AB上一点,以CE为直径的⊙O交BC于点F,连接DO,且∠DOC=90°.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若DF=2,DC=6,求BE的长.

【解答】(1)证明:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴CD=DB,又CO=OE,
∴OD∥BE,
∴∠CEB=∠DOC=90°,
∴CE⊥AB,
∴AB是⊙O的切线;
(2)解:连接EF、ED,
∵BD=CD=6,
∴BF=BD﹣DE=4,
∵CO=OE,∠DOC=90°,
∴DE=DC=6,
∵CE为⊙O的直径,
∴∠EFC=90°,
∴EF==4,
∴BE==4.

 
六、解答题(每小题10分,共20分)
23.(10分)小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为53°和45°,已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为75m,请求出热气球离地面的高度.(参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈).

【解答】 解:过A作AD⊥BC,
在Rt△ACD中,tan∠ACD=,即CD==AD,
在Rt△ABD中,tan∠ABD=,即BD==AD,
由题意得:AD﹣AD=75,
解得:AD=300m,
则热气球离底面的高度是300m.

 
24.(10分)某超市销售一种成本为每台20元的台灯,规定销售单价不低于成本价,又不高于每台32元.销售中平均每月销售量y(台)与销售单价x(元)的关系可以近似地看做一次函数,如下表所示:
x
22
24
26
28

y
90
80
70
60

(1)请直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)为了实现平均每月375元的台灯销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时每月应购进台灯多少个?
(3)设超市每月台灯销售利润为ω(元),求ω与x之间的函数关系式,当x取何值时,ω的值最大?最大值是多少?
【解答】解:(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx+b,
,得,
即y与x之间的函数关系式是y=﹣5x+200;
(2)由题意可得,
(x﹣20)(﹣5x+200)=375,
解得,x1=25,x2=35(舍去),
y=﹣5×25+200=75,
答:这种台灯的售价应定25元,这时每月应购进台灯75个;
(3)由题意可得,
ω=(x﹣20)(﹣5x+200)=﹣5(x﹣30)2+500,
∵20≤x≤32,
∴当x=30时,ω取得最大值,最大值是500.
 
七、解答题(本题12分)
25.(12分)已知:△ABC和△ADE按如图所示方式放置,点D在△ABC内,连接BD、CD和CE,且∠DCE=90°.
(1)如图①,当△ABC和△ADE均为等边三角形时,试确定AD、BD、CD三条线段的关系,并说明理由;
(2)如图②,当BA=BC=2AC,DA=DE=2AE时,试确定AD、BD、CD三条线段的关系,并说明理由;
(3)如图③,当AB:BC:AC=AD:DE:AE=m:n:p时,请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系.
【解答】解:(1)CD2+BD2=AD2,
理由:∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,
在Rt△DCE中,CD2+CE2=DE2,
∴CD2+BD2=AD2,

(2)CD2+BD2=AD2,
理由:∵BA=BC=2AC,DA=DE=2AE,
∴,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∵,
∴△BAD∽△CAE,
∴=2,
∴BD=2C
…………………………
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