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2018年长春市二道区九年级上第一次段考数学试卷((有答案))
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2019/9/25  
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2018-2019学年吉林省长春市二道区九年级(上)第一次段考数学试卷
 
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
1.(3分)下列方程中是一元二次方程的是(  )
A.xy+2=1 B. C.x2=0 D.ax2+bx+c=0
2.(3分)下列二次根式中能与2合并的是(  )
A. B. C. D.
3.(3分)已知(a≠0,b≠0),下列变形错误的是(  )
A.2a=3b B.= C.3a=2b D.=
4.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,各边都扩大2倍,则锐角A的正弦值(  )
A.扩大2倍 B.缩小 C.不变 D.无法确定
5.(3分)如果y=+3,那么yx的算术平方根是(  )
A.2 B.3 C.9 D.±3
6.(3分)如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为(  )

A. B.1 C. D.
7.(3分)若顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是菱形,则原四边形一定是(  )
A.平行四边形 B.矩形
C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形
8.(3分)欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=.则该方程的一个正根是(  )

A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长
 
二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)
9.(3分)若式子有意义,则x的取值范围是   .
10.(3分)以m=   为反例,可以证明命题“关于x的一元二次方程x2+x+m=0必有实数根”是错误的命题(写出一个m值即可).
11.(3分)如图,一人乘雪橇沿坡角为α的斜坡笔直滑行了82米,那么他下降的高度为   米(用含α的式子表示).

12.(3分)如图,△DEF是由△ABC经过位似变换得到的,点O是位似中心,,则△DEF与△ABC的面积比是   .

13.(3分)某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具,平均每天可销售50个,每个盈利36元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,若每个玩具降价1元,平均每天可多售出5个,商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元,则每个玩具应降价多少元?设每个玩具应降价x元,可列方程为   .
14.(3分)如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.若BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形DEFG的面积是   .

 
三、解答题(本题共10小题,共78分)
15.(6分)计算:×﹣(+)+2sin45°.
16.(6分)对于实数a、b,定义运算※如下,a※b=a2﹣ab,例如,5※3=52﹣5×3=10.若(x+1)※(3x﹣2)=0,求x的值.
17.(6分)如图,图①、图②、图③均为4×2的正方形网格,△ABC的顶点均在格点上.按要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形.
要求:
(1)所画的两个三角形都与△ABC相似但都不与△ABC全等.
(2)图②和图③中新画的三角形不全等.

18.(7分)如图,某餐厅的餐桌桌面是一个面积为0.84m2的矩形,桌面装有两个表面为相同正方形的电磁炉,两个电磁炉之间及与四周的距离均为0.2m,求电磁炉表面的边长.

19.(7分)在△ABC中,AB=6,AC=8,D、E分别在AB、AC上,连接DE,设BD=x(0<x<6),CE=y(0<y<8).
(1)当x=2,y=5时,求证:△AED∽△ABC;
(2)若△ADE和△ABC相似,求y与x的函数表达式.

20.(7分)图1是一辆吊车的实物图,图2是其工作示意图,AC是可以伸缩的起重臂,其转动点A离地面BD的高度AH为3.5米.当起重臂AC长度为8米,张角∠HAC为118°时,求操作平台C离地面的高度(结果保留小数点后一位)【参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53】

21.(8分)阅读下面的文字,解答问题:大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用﹣1来表示的小数部分,事实上,小明的表示方法是有道理的,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是的小数部分,又例如:∵22<()2<32,即2<<3,∴的整数部分为2,小数部分为(﹣2).
请解答:
(1)的整数部分是   ,小数部分是   .
(2)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求a+b﹣的值.
(3)已知x是3+的整数部分,y是其小数部分,直接写出x﹣y的值.
22.(9分)感知:如图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,可知△ABP∽△PCD.(不要求证明)
探究:如图②,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD.
拓展:如图③,在△ABC中,点P是边BC的中点,点D、E分别在边AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=6,CE=4,则DE的长为   .

23.(10分)我们知道,解一元一次方程,可以把它转化为两个一元一次方程来解,其实用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程,例如一元三次方程x3+x2﹣2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x﹣2)=0,解方程x=0和x2+x﹣2=0,可得方程x3+x2﹣2x=0的解.
(1)方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0,x2=   ,x3=   .
(2)用“转化”思想求方程=x的解.
(3)如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=14m,宽AB=12m,小华把一根长为28m的绳子的一端固定在点B处,沿草坪边沿BA、AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P处,然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C处,求AP的长.

24.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5.点P从点A出发,以每秒5个单位
长度的速度沿AC方向运动,过点P作PQ⊥AB于点Q,当点Q和点B重合时,点P停止运动,以AP和AQ为边作?APHQ.设点P的运动时间为t秒(t>0)
(1)线段PQ的长为   .(用含t的代数式表示)
(2)当点H落在边BC上时,求t的值.
(3)当?APHQ与△ABC的重叠部分图形为四边形时,设四边形的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
(4)过点C作直线CD⊥AB于点D,当直线CD将?APHQ分成两部分图形的面积比为1:7时,直接写出t的值.

 

2018-2019学年吉林省长春市二道区九年级(上)第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
1.
【分析】根据一元二次方程的定义:含有一个未知数,并且所含未知数的项的次数是2次的整式方程,即可判断答案.
【解答】解:根据一元二次方程的定义:A、是二元二次方程,故本选项错误;
B、是分式方程,不是整式方程,故本选项错误;
C、是一元二次方程,故本选项正确;
D、当a b c是常数,a≠0时,方程才是一元二次方程,故本选项错误;
故选:C.
【点评】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解,关键是知道一元二次方程含有3个条件:①整式方程,②含有一个未知数,③所含未知数的项的次数是1次.
 
2.
【分析】先化简选项中各二次根式,然后找出被开方数为3的二次根式即可.
【解答】解:A、,不能与合并,错误;
B、能与合并,正确;
C、不能与合并,错误;
D、不能与合并,错误;
故选:B.
【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义,掌握同类二次根式的定义是解题的关键.
 
3.
【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断;
【解答】解:∵(a≠0,b≠0),
∴3a=2b.
由B、C、D都可以得到:3a=2b,
故选项A错误,
故选:A.
【点评】本题考查比例的性质、熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键.
 
4.
【分析】根据锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦解答即可.
【解答】解:设Rt△ABC的三边长为a,b,c,则sinA=,
如果各边长都扩大5倍,
∴sinA=,
故∠A的正弦值大小不变.
故选:C.
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键.
 
5.
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式,求出x、y的值,根据算术平方根的概念解答即可.
【解答】解:由题意得,x﹣2≥0,2﹣x≥0,
解得,x=2,
∴y=3,
则yx=9,
9的算术平方根是3.
故选:B.
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式中的被开方数必须是非负数和算术平方根的概念是解题的关键.
 
6.
【分析】连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长,利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形,即可求出所求.
【解答】解:连接BC,
由网格可得AB=BC=,AC=,即AB2+BC2=AC2,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,
则tan∠BAC=1,
故选:B.

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义,解直角三角形,以及勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
 
7.
【分析】根据题意画出图形,由四边形EFGH是菱形,点E,F,G,H分别是边AD,AB,BC,CD的中点,利用三角形中位线的性质与菱形的性质,即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形.
【解答】解:根据题意得:四边形EFGH是菱形,
∴EF=FG=CH=EH,
点E,F,G,H分别是边AD,AB,BC,CD的中点,
∴BD=2EF,AC=2FG,
∴BD=AC.
∴原四边形一定是对角线相等的四边形.
故选:C.

【点评】本题考查的是菱形的性质、中点四边形,掌握菱形的性质、三角形中位线的性质是解题的关键,注意掌握数形结合思想的应用.
 
8.
【分析】表示出AD的长,利用勾股定理求出即可.
【解答】解:欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=,
设AD=x,根据勾股定理得:(x+)2=b2+()2,
整理得:x2+ax=b2,
则该方程的一个正根是AD的长,
故选:B.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
 
二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)
9.
【分析】直接利用二次根式的定义进而得出答案.
【解答】解:∵式子有意义,
∴5﹣x≥0,
解得:x≤5,
则x的取值范围是:x≤5,
故答案为:x≤5.
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握二次根式定义是解题关键.
 
10.
【分析】由方程有实数根,得到根的判别式大于等于0,求出m的范围即可做出判断.
【解答】解:∵方程x2+x+m=0,必有实数解,
∴△=1﹣4m≥0,
解得:m≤,
则命题“关于x的一元二次方程x2+x+m=0,必有实数解.”是假命题.则可以作为反例的是m=2,
故答案为:2,
【点评】此题考查了命题与定理,以及根的判别式,熟练掌握举反例说明命题为假命题的方法是解本题的关键.
 
11.
【分析】如图,设下滑的距离为AB=82米,下降的高度为线段AC.解直角三角形求出AC即可;
【解答】解:如图,设下滑的距离为AB=82米,下降的高度为线段AC.

在Rt△ABC中,AC=AB?sinα=82?sinα,
故答案为82?sinα.
【点评】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是理解题意,属于中考常考题型.
 
12.
【分析】根据位似变换的性质得到△DEF∽△ABC,根据题意求出相似比,根据相似三角形的性质解答即可.
【解答】解:∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的,
∴△DEF∽△ABC,
∵,
∴,即△DEF与△ABC的相似比为,
∴△DEF与△ABC的面积比是4:25,
故答案为:4:25.
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
 
13.
【分析】商店平均每天盈利数=每个玩具的盈利×售出个数;每个玩具的盈利=原来每个的盈利﹣降价数.设每个玩具应降价x元,然后根据前面的关系式即可列出方程.
【解答】解:设每个玩具应降价x元.则此时每天出售的数量为:(50+5x)个,每个的盈利为:(36﹣x)元,
根据题意得(36﹣x)(50+5x)=2400,
故答案为(36﹣x)(50+5x)=2400.
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是理解题意,找到题目蕴含的相等关系.
 
14.
【分析】作AH⊥BC于H,交GF于M,如图,先利用三角形面积公式计算出AH=3,设正方形DEFG的边长为x,则GF=x,MH=x,AM=3﹣x,再证明△AGF∽△ABC,则根据相似三角形的性质得,由此构建方程即可解决问题.
【解答】解:作AH⊥BC于H,交GF于M,如图,
∵△ABC的面积是6,
∴BC?AH=6,
∴AH==3,
设正方形DEFG的边长为x,则GF=x,MH=x,AM=3﹣x,
∵GF∥BC,
∴△AGF∽△ABC,
∴,即,解得x=,
即正方形DEFG的边长为.
故答案为.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;在应用相似三角形的性质时,主要利用相似比计算相应线段的长.也考查了正方形的性质.
 
三、解答题(本题共10小题,共78分)
15.
【分析】先计算乘法、去括号,化简后合并同类二次根式即可;
【解答】解:原式=﹣﹣+
=2﹣﹣+
=+.
【点评】本题考查二次根式的混合运算,解题的关键是熟练掌握运算顺序,先乘方再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的.
 
16.
【分析】根据题意列出方程,解方程即可.
【解答】解:由题意知(x+1)2﹣(x+1)(3x﹣2)=0,
则(x+1)[(x+1)﹣(3x﹣2)]=0,
整理,得:(x+1)(﹣2x+3)=0,
则x+1=0或﹣2x+3=0,
解得:x=﹣1或x=.
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法,根据题意正确得到方程是解题的关键.
 
17.
【分析】将原三角形的三边分别扩大和2倍即可得.
【解答】解:如图,△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作三角形.

【点评】本题考查了作图﹣相似变换:两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.本题从∠ACB=135°,AC:BC=:1找到突破口.
 
18.
【分析】设电磁炉表面的边长为xm,则矩形桌面的长为(2x+0.6)m,宽为(x+0.4)m,根据矩形的面积公式结合餐桌桌面的面积为0.84m2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:设电磁炉表面的边长为xm,则矩形桌面的长为(2x+0.6)m,宽为(x+0.4)m,
根据题意得:(2x+0.6)(x+0.4)=0.84,
解得:x1=0.3,x2=﹣1(舍去).
答:电磁炉表面的边长为0.3m.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
 
19.
【分析】(1)根据两边成比例夹角相等即可证明;
(2)法两种情形分别求解即可解决问题;
【解答】解:(1)∵AB=6,BD=2,
∴AD=4,
∵AC=8,CE=5,
∴AE=3,
∴,,
∴,∵∠EAD=∠BAC,
∴△AED∽△ABC;

(2)①若△ADE∽△ABC,则,
∴y=x(0<x<6).
②若△ADE∽△ACB,则,
∴y=x+(0<x<6).
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
 
20.
【分析】作CE⊥BD于E,AF⊥CE于F,如图2,易得四边形AHEF为矩形,则EF=AH=3.5m,∠HAF=90°,再计算出∠CAF=28°,则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF,然后计算CF+EF即可.
【解答】解:作CE⊥BD于E,AF⊥CE于F,如图2,
易得四边形AHEF为矩形,
∴EF=AH=3.5m,∠HAF=90°,
∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°,
在Rt△ACF中,∵sin∠CAF=,
∴CF=8sin28°=8×0.47=3.76,
∴CE=CF+EF=3.76+3.5≈7.3(m),
答:操作平台C离地面的高度为7.3m.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用:先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题),然后利用勾股定理和三角函数的定义进行计算.
 
21.
【分析】(1)由3<<4可得答案;
(2)由2<<3知a=﹣2,由6<<7知b=6,据此求解可得;
(3)由2<<3知5<3+<6,据此得出x、y的值代入计算可得.
【解答】解:(1)∵3<<4,
∴的整数部分是3,小数部分是﹣3;
故答案为:3;﹣3.

(2)∵2<<3,
∴a=﹣2,
∵6<<7,
∴b=6,
∴a+b﹣=﹣2+6﹣=4.

(3)∵2<<3,
∴5<3+<6,
∴3+的整数部分为x=5,小数部分为y=3+﹣5=﹣2.
则x﹣y=5﹣(﹣2)=5﹣+2=7﹣.
【点评】本题考查了估算无理数的大小,解决本题的关键是熟记估算无理数的大小.
 
22.
【分析】感知:先判断出,∠BAP=∠DPC,进而得出结论;
探究:同理根据两角相等相等,两三角形相似,进而得出结论;
拓展:利用相似三角形△BDP∽△CPE得出比例式求出BD,三角形内角和定理证得AC⊥AB且AC=AB;然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC=AB=6;最后利用在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度.
【解答】解:感知:∵∠APD=90°,
∴∠APB+∠DPC=90°,
∵∠B=90°,
∴∠APB+∠BAP=90°,
∴∠BAP=∠DPC,
∵AB∥CD,∠B=90°,
∴∠C=∠B=90°,
∴△ABP∽△DCP.
探究:∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠CPD,
∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD.
∵∠B=∠APD,
∴∠BAP=∠CPD.
∵∠B=∠C,
∴△ABP∽△PCD,
拓展:同探究的方法得出,△BDP∽△CPE,
∴,
∵点P是边BC的中点,
∴BP=CP=3,
∵CE=4,
∴,
∴BD=,
∵∠B=∠C=45°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°,
即AC⊥AB且AC=AB=6,
∴AD=AB﹣BD=6﹣=,AE=AC﹣CE=6﹣4=2,
在Rt△ADE中,DE=.
故答案是:.
【点评】此题是相似综合题.主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理.解本题的关键是△ABP∽△PCD.
 
23.
【分析】(1)先提取公因式x,再因式分解可得x(x﹣1)(x+2)=0,据此解之可得;
(2)两边平方后整理可得x2﹣2x﹣3=0,解之可得;
(3)设AP=x,则DP=14﹣x,根据勾股定理可得PB=、PC=,由PB+PC=28得+=28,移项、平方求解可得.
【解答】解:(1)∵x3+x2﹣2x=0,
∴x(x2+x﹣2)=0,
∴x(x﹣1)(x+2)=0,
则x=0或x﹣1=0或x+2=0,
解得:x1=0、x2=1、x3=﹣2.
故答案为:1、﹣2.

(2)∵=x,
∴2x+3=x2,即x2﹣2x﹣3=0,
∴(x+1)(x﹣3)=0,
则x+1=0或x﹣3=0,
解得:x1=﹣1、x2=3;

(3)设AP=x,则DP=14﹣x,
∵AB=CD=12,∠A=∠D=90°,
∴PB==、PC==,
∵PB+PC=28,
∴+=28,
=28﹣,
两边平方,整理可得:,
再两边平方,整理可得:x2﹣14x+45=0,
解得x1=5、x2=9,
则AP的长为5m或9m.
【点评】本题考查了转化的思想方法,一元二次方程的解法.解无理方程是注意到验根.解决(3)时,根据勾股定理和绳长,列出方程是关键.
 
24.
【分析】(1)利用勾股定理求出BC,再根据sinA=,构建方程即可解决问题;
(2)如图2中,因为QH∥AC,可得,由此构建方程即可解决问题;
(3)飞两种情形分别求解:①如图3中,当0<t≤时,重叠部分是四边形APHQ.②如图4中,当≤t≤时,重叠部分是四边形ACMQ;
(4)飞两种情形画出图形分别利用三角形的中位线定理求解即可;
【解答】解:(1)如图1中,

在Rt△ACB中,∵AC=3,AB=5,∠C=90°,
∴BC==4,
∵AP=5t,sinA=,
∴,
∴PQ=4t,AQ==3t.
故答案为4t.

(2)如图2中,当点H落在BC上时.

∵QH∥AC,
∴,
∴,

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