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云南民族大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(理)试卷(有答案)
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2019/5/7  
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[考试时间:2018年10月31日8:00-10:00]
云南民族大学附属中学
2018年秋季学期期中考试高三数学(理)试卷
(考试时间120分钟 满分150分)
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。
第Ⅰ卷
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)
1.设集合U={x|x<5,x∈N*},M={x|x2-5x+6=0},则?UM=
A.{1,4} B.{1,5} C.{2,3} D.{3,4}
2.复数的共轭复数是(  ).
A.-i B.i C.-i D.i
3.在等比数列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是
A.-2 B.- C.± D.
4.已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
A. B.4
C.3 D.5
5.阅读如右图所示的程序框图,输出的S值为
A.0 B.1+
C.1+ D.-1
6.若=,则tan 2α=
A.- B. C.- D.
7.若,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
8.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为
A.14+2 B.14+2
C.18 D.20
9.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为
A. B. C. D.
10.点在椭圆上,,是椭圆的两个焦点,,且的三条边,,成等差数列,则此椭圆的离心率是
A. B. C. D.
11.在△ABC中,|+|=|-|,||=||=3,则·的值为
A.3 B.-3 C.- D.
12.已知函数,,如果对于任意的,,都有成立,则实数的取值范围为
A. B. C. D.

第Ⅱ卷
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分)
13.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a= .
14.P为曲线y=ln x上的一动点,Q为直线y=x+1上的一动点,则|PQ|的最小值是 .
15.若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为 .
16.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于 .

三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin2A+sinAsinB-6sin2B=0.
(1)求的值;
(2)若cosC=,求sinB的值.

18.(本题满分12分)
某市需对某环城快速车道进行限速,为了调研该道路车速情况,于某个时段随机对100辆车的速度进行取样,测量的车速制成如下条形图:

经计算样本的平均值μ=85,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度,现规定车速小于μ-3σ或车速大于μ+2σ是需矫正速度.
(1)从该快速车道上所有车辆中任取1个,求该车辆需矫正速度的概率;
(2)从样本中任取2辆车,求这2辆车均需矫正速度的概率;
(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个,记其中需矫正速度的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.

19.(本题满分12分)
如图,四边形为菱形,,平面,
为中点.
(1)求证:平面平面;
(2)求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值.





20.(本题满分12分)
已知F1,F2为椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(1,)在椭圆E上,且|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过F1的直线l1,l2分别交椭圆E于A,C和B,D,且l1⊥l2,问是否存在常数λ,使得,λ,成等差数列?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.


21.(本题满分12分)
已知函数f(x)=sin x-xcos x(x≥0).
(1)求函数f(x)在区间[0,2π]上的最大值;
(2)若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)<ax3恒成立,求实数a的取值范围.


请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.(本题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.


23.(本题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】
已知函数f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式|x-1|<f(x);
(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤+(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.
2016级高三(上)期中考试数学(答案)(理)
一.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

答案
A
C
B
A
B
B
A
D
D
D
D
C


二.
题号
13
14
15
16

答案
-1

1
100


三.
17.解 (1)因为sin2A+sinAsinB-6sin2B=0,sinB≠0,
所以2+-6=0,得=2或=-3(舍去).
由正弦定理得==2.
(2)由余弦定理得cosC==.①
将=2,即a=2b代入①,得5b2-c2=3b2,
得c=b.
由余弦定理cosB=,得
cosB==,
则sinB==.
18.解:(1)记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个,该车辆需矫正速度”.
因为μ-3σ=78.4,μ+2σ=89.4,
由样本条形图可知,所求的概率为P(A)=P(X<μ-3σ)+P(X>μ+2σ)=P(X<78.4)+P(X>89.4)=+=.
(2)记事件B为“从样本中任取2辆车,这2辆车均需矫正速度”.
由题设可知样本容量为100,又需矫正速度的个数为5辆车,
故所求概率为P(B)==.
(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布,即ξ~B,
∴P(ξ=0)=C02=,
P(ξ=1)=C11=,
P(ξ=2)=C20=,
因此ξ的分布列为
ξ
0
1
2

P




∴数学期望E(ξ)=2×=.
19.(1)证明:如图3,连接AC交BD于O点,连接EO,
∵四边形ABCD是菱形,,
∵E为PC中点,

平面ABCD,平面ABCD,
平面BED,
∴平面平面ABCD. ………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)解:∵四边形ABCD是菱形,

平面ABCD,
,,
如图4,建立空间直角坐标系, …………………………………………(8分)
∵y轴⊥平面BED,
∴平面BED的法向量为.
设F为AB中点,连接CF,菱形ABCD的边长为,
则,平面PAB,
∴平面PAB的法向量为,

∴平面PBA与平面EBD所成二面角(锐角)的余弦值为. ……………(12分)
20.解 (1)∵|PF1|+|PF2|=4,
∴2a=4,a=2.
∴椭圆E:+=1.
将P(1,)代入可得b2=3,
∴椭圆E的方程为+=1.
(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时,+=+=;
②当AC的斜率k存在且k≠0时,AC的方程为y=k(x+1),
代入椭圆方程+=1,并化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
设A(x1,y1),C(x2,y2),
则x1+x2=-,x1·x2=.
|AC|=|x1-x2|
==.
∵直线BD的斜率为-,
∴|BD|==.
∴+=+=.
综上,2λ=+=,
∴λ=.
故存在常数λ=,使得,λ,成等差数列.
21.解:(1)∵f′(x)=xsin x,
∴0<x<π时,f′(x)>0,π<x<2π时f′(x)<0
∴f(x)在[0,π]上是增函数,在[π,2π]上是减函数
∴f(x)max=f(π)=π
(2)f(x)<ax3?sin x-xcos x-ax3<0.
令g(x)=sin x-xcos x-ax3,
则g′(x)=xsin x-3ax2=x(sin x-3ax),
又令h(x)=sin x-3ax,
则h′(x)=cos x-3a.
①当3a≤-1,即a≤-时,h′(x)≥0恒成立,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴h(x)>h(0)=0,∴g′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)>g(0)=0(不合题意).
②当3a≥1,即a≥时, h′(x)≤0,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴h(x)<h(0)=0,∴g′(x)<0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴g(x)<g(0)=0(符合题意).
③当-1<3a<1,即-<a<时,由h′(0)=1-3a>0,h′(π)=-1-3a<0,
∴在(0,π)上,?x0使h′(x0)=0,
且x∈(0,x0)时,h′(x)>0?g′(x)>0,∴g(x)在(0,x0)上单调递增,
∴存在g(x)>g(0)=0(不符合题意),
综上,a的取值范围为.
22.解 (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π). 4分
(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,
所以直线CD与l的斜率相同,tan t=,t=. 8分
故D的直角坐标为,
即. 10分
23.解  (1)依题设,得|x-1|<|3x+2|,
所以(x-1)2<(3x+2)2,则x>-或x<-,
故原不等式的解集为.4分
(2)因为m+n=1(m>0,n>0),
所以+=(m+n)=2++≥4,
当且仅当m=n=时,等号成立.
令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|
= 8分
则x=-时,g(x)取得最大值+a,
要使不等式恒成立,只需g(x)max=+a≤4.
解得a≤.
又a>0,因此0<a≤. 10分

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