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甘肃省兰州第一中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试卷(有答案)
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2019/4/28  
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兰州第一中学2019届高三上学期期中考试
数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若全集,则集合等于( )
A. B. C. D.
2. 若是或的充分不必要条件,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3 曲线在点(0,1)处的切线方程是( )
A. B. C. D.
4. 给出如下四个命题: ①若“且”为假命题,则、均为假命题;
②命题“若,则”的否命题为“若,则”;
③命题“”的否定是“”;
④“”是“”的充分必要条件. 其中正确的命题个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5. 已知数列为等差数列,若,则( )
A. B. C. D.
6. 函数是( )
A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数
7. 已知,以A为定义域,以B为值域的函数可以建立的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.8
8. △ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若 则 ( )
A. B. C. D.
9. 若cos,则sin2(=( )
A. B. C. D.
10. 函数的图象大致是(  )

11. 数列的前项和为,若,,则a6 =( )
A. B. C. D.
12. 已知函数是上的偶函数,且满足,在[0,5]上有且只有,则在[–2013,2013]上的零点个数为( )
A.808 B.806 C.805 D.804
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.等差数列的前11项和,则 .
14.已知向量为非零向量,若,则 .
15. 函数(其中>0,<的图象如图所示,为了得到的图象,只需将f(x)的图象向右平移
个单位长度.
16. 定义运算.令.当时,的最大值是 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)
(一)必考题:共60分.
17.(本小题满分12分)
在中,角、、的对边分别为、、,.
(1)求角的大小;
(2)若,,求的值.

18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,平面,
底面 是菱形,,.
(1)求证:平面;
(2)若.求棱锥的高.

19.(本小题满分12分)
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六组: [40,50), [50,60),(, [90,100)后得到如图的频率分布直方图.
(1)求图中实数a的值;
(2)若该校高一年级共有学生500人,试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数;
(3)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.


20.(本小题满分12分)
已知椭圆过点,离心率是,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆交于两点,线段的中点为.求直线与坐标轴围成的三角形的面积.

21.(本小题满分12分)
已知函数,(其中为在处的导数,为常数)
(1)求函数的单调区间;
(2)若方程有且只有两个不等的实数根,求常数c的值.

(二)选考题:共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,直线的方程为,曲线的参数方程为(为参数) .
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以 轴正半轴为极轴)中,点的极坐标为(4,),判断点与直线的位置关系;
(2)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.

23.(本小题满分10分)
已知函数.
(1)证明:;
(2)求不等式的解集.
兰州一中2018-2019-1学期期中考试试题参考答案
高三数学(文科)
一、选择题:本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

答案
D
A
A
C
D
B
C
B
D
C
A
B


二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 16; 14. ; 15. ; 16. .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. 解:(1)由,得. ………………3分
∴. ∵, ∴. ………………6分
(2)由正弦定理,得. ………………9分
∵, ,
∴. ∴. ………………11分
∴. ………………12分
18. (1)证明:因为四边形是菱形,所以.
又因为平面,所以.
又,所以⊥平面. ………………6分
(2)解:∵,
设棱锥的高为
∴ ………………8分
. ∵,,
∴,
∴,
……10分
∴. 即棱锥的高为. ………………12分
19. 解:(1)由 ,可得 ......2分
(2)数学成绩不低于60分的概率为:
数学成绩不低于60分的人数为 人 ......................6分
(3)数学成绩在的学生人数: 人
数学成绩在的学生人数: 人
设数学成绩在的学生为,
数学成绩在的学生为 ,
两名学生的结果为:
,

共种;
其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有
,,,,,,共7种,
因此,抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为 ..............12分
20. 解:(1)设为椭圆的半焦距,由已知可得
解得
∴椭圆的方程为 .....................4分
(2)设 代入椭圆方程得,两式相减得
,由中点坐标公式得,
可得直线的方程为 ............9分
令可得 令可得
则直线与坐标轴围成的三角形面积为 ...................12分
21.(1)由得
令得解得 ...................4分
,而,
由的图像知的递增区间是,递减区间是............8分
(2)由(1)知
∴方程有且只有两个实数根等价于或者
或1 ....................12分
22. 解:(I)把极坐标系下的点化为直角坐标,得.
因为点的直角坐标(0,4)满足直线的方程,
所以点在直线上. ………………5分
(II)设点的坐标为,则点到直线的距离为
.
由此得,当时,取得最小值,且最小值为 . …………10分
23. 解:(1)证明:当时,;
当时, ,所以;
当时,.
所以. ………………5分
(2)由(I)可知,当时,,
∴的解集为空集;
当时,,
∴的解集为;
当时,,
∴的解集为.
综上,不等式的解集为 . ………………10分

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