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湖南省岳阳县第一中学2019届高三上学期期中数学(文)试卷(有答案)
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2019/4/5  
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2018年下学期岳阳县一中高三第三次阶段考试试卷
数学(文科)
 
一.选择题(共12小题)
1.集合A={x|y=ln(x﹣1)},集合B={x|﹣1<x<2},则()∩B= ( B )
A.(﹣1,1) B.(﹣1,1] C.(﹣1,2) D.(1,2)
2.已知条件p:,条件q:,则p是q成立的 ( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.则 ( C )
A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.c>a>b
4.已知向量,若,则k等于( C )
A.2 B.2 C.﹣3 D.1
※5.已知α为第二象限的角,且tanα=﹣,则sinα+cosα= ( C )
A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<),函数的最大值是2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,且f(x)的图象关于直线x=对称,则下列判断正确的是 ( D )
A.要得到函数f(x)的图象,只需将y=2cos2x的图象向左平移个单位
B.x∈[]时,函数f(x)的最小值是﹣2
C.函数f(x)的图象关于直线x=﹣对称
D.函数f(x)在[,]上单调递增
【分析】由题意可求A,f(x)的周期T,利用周期公式可求ω,利用正弦函数的对称性可求φ,可得f(x)的解析式,利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可判断求解.
【解答】解:∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<),函数的最大值是2,
∴A=2,
∵其图象相邻两条对称轴之间的距离为,
∴T==π,解得:ω=2,
∵f(x)的图象关于直线x=对称,
∴2×+φ=kπ+,k∈Z,解得:φ=kπ+,k∈Z,
又∵|φ|<,解得:φ=.可得:f(x)=2sin(2x+).
对于A,将y=2cos2x的图象向左平移个单位,
可得:y=2cos[2(x+)]=2cos(2x+)的图象,故错误;
对于B,x∈[﹣,]时,2x+∈[﹣,],可得f(x)=2sin(2x+)∈[﹣1,2],故错误;
对于C,由于2sin[2×(﹣)+]=﹣2sinπ=0≠±2,故错误;
对于D,由x∈[,π],可得:2x+∈[,],
由正弦函数的图象和性质可得函数f(x)在[,π]上单调递增,故正确.
故选:D.
7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么最小的儿子分到的绵是 ( B )
A.167斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤
【分析】由题意可知,数列为等差数列,公差为d=17,n=8,S8=996,以第1个儿子为首项,即可求出答案.
【解答】解:由题意可知,数列为等差数列,
公差为d=17,n=8,S8=996,以第最大的儿子为首项,
∴8a1+×17=996,
解得a1=65,所以
故选:B.
8.执行如图程序框图,则输出结果为 ( C )

A.20200 B.﹣5268.5 C.5050 D.﹣5151
【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算并输出S=(﹣1)1×12+(﹣1)2×22+(﹣1)3×32+…+(﹣1)100×1002的值,
由于S=(﹣1)1×12+(﹣1)2×22+(﹣1)3×32+…+(﹣1)100×100
=(22﹣12)+(42﹣32)+…(1002﹣992)
=3+7+11+…+199
=
=5050.
故选:C.
9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( B )

A. B.
C. D.8


【分析】由三视图知该几何体是四棱锥,由三视图求出几何元素的长度,由锥体的体积公式求出几何体的体积.
【解答】解:根据三视图可知几何体是四棱锥,
且底面是边长为2和4的长方形,由侧视图是等腰直角三角形,
直角边长为2,
∴该几何体的体积V==,
故选:B.

【点评】本题考查由三视图求几何体的体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.
10.已知函数f(x)=asinx+bcosx(x∈R),若x=x0是函数f(x)的一条对称轴,且tanx0=2,则点(a,b)所在的直线为 ( A )
A.x﹣2y=0 B.x+2y=0 C.2x﹣y=0 D.2x+y=0
【解答】解:f(x)=asinx+bcosx=(sinx+cosx),
令sinα=,则cosα=,即tanα=,
则f(x)=cos(x﹣α),
由x﹣α=kπ,得x=α+kπ,k∈Z,
即函数的对称轴为x=α+kπ,k∈Z,
∵x=x0是函数f(x)的一条对称轴,
∴x0=α+kπ,则tanx0=tanα==2,即a=2b,
即a﹣2b=0,
则点(a,b)所在的直线为x﹣2y=0,
故选:A.
11.若为奇函数,且是的一个零点,则下列函数中,一定是其零点的函数是 ( B )
A. B.
C. D.
【解析】由题意可得,所以的一个根为,方程可变形为,又因为为奇函数,所以,即有一个零点为.选B.
【点评】本题考查了等差数列的求和公式的应用.
12.若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;
②P,Q关于原点对称,则称(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)=有两个“伙伴点组”,则实数k的取值范围是 ( B )
A.(-∞,0) B.(0,1)
C. D.(0,+∞)
【解析】依题意,“伙伴点组”的点满足:都在y=f(x)的图象上,且关于坐标原点对称.
可作出函数y=-ln(-x)(x<0)关于原点对称的函数y=ln x(x>0)的图象,
使它与直线y=kx-1(x>0)的交点个数为2即可.

当直线y=kx-1与y=ln x的图象相切时,设切点为(m,ln m),
又y=ln x的导数为y′=,
则km-1=ln m,k=,解得m=1,k=1,
可得函数y=ln x(x>0)的图象过(0,-1)点的切线的斜率为1,
结合图象可知k∈(0,1)时两函数图象有两个交点.
二.填空题(共4小题)
13.复数(i为虚数单位)的虚部为 1 .
※14.若x,y满足约束条件,则的最大值是  .
15.数列{an}满足, 数列{bn}满足 ,且b1+b2+…b9=90,则b4?b6= 91.
【解析】数列{an}满足,
可得﹣=3,
数列{bn}满足bn=,
可得{bn}为公差为3的等差数列,
由b1+b2+…b9=90,可得
9b1+ ×3=90,
解得b1=﹣2,
则b4?b6=(﹣2+3×3)×(﹣2+5×3)=91.
故答案为:91.
16.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a,则该四面体体积的最大值为 a3 .
【解答】解:如图所示,
在四面体ABCD中,若AB=BC=CD=AC=BD=a,AD=x,取AD的中点P,BC的中点E,连接BP,EP,CP,
易证AD⊥平面BPC,所以V A﹣BCD=S△BPC×AD=×x=×=×≤a3,
当且仅当,即x=时取等号.
故答案为:a3,

三.解答题(本大题共6小题,满分70分)
17.设f(x)=loga(1+x)+loga(3﹣x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域.
(2)求f(x)在区间[0,]上的值域.

【分析】(1)由f(1)=2求得a的值,由对数的真数大于0求得f(x)的定义域;
(2)判定f(x)在(﹣1,3)上的增减性,求出f(x)在[0,]上的最值,即得值域.
【解答】解:(1)∵f(x)=loga(1+x)+loga(3﹣x),
∴f(1)=loga2+loga2=loga4=2,∴a=2;
又∵,∴x∈(﹣1,3),
∴f(x)的定义域为(﹣1,3).
(2)∵f(x)=log2(1+x)+log2(3﹣x)=log2[(1+x)(3﹣x)]=log2[﹣(x﹣1)2+4],
∴当x∈(﹣1,1]时,f(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,f(x)是减函数,
∴f(x)在[0,]上的最大值是f(1)=log24=2;
又∵f(0)=log23,f()=log2=﹣2+log215,
∴f(0)<f();
∴f(x)在[0,]上的最小值是f(0)=log23;
∴f(x)在区间[0,]上的值域是[log23,2].
【点评】本题考查了求函数的定义域和值域的问题,利用对数函数的真数大于0可求得定义域,利用函数的单调性可求得值域.
18.(本小题满分12分)如图,a,b,c分别是锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边,bsinA+acosB=,sin.
(1)求sinC的值;
(2)若点D在边BC上且BD=3CD,△ABC的面积为14,求AD的长度.
【分析】(1)利用两角和与差的三角函数转化求出B的大小,利用两角和的正弦函数求解C的正弦函数值即可.
(2)利用正弦定理求出BD,然后利用余弦定理求解AD即可.
【解答】解:(1)由题知,
则,,因B为锐角,
所以……………………(3分),
由,
所以sinC=sin(∠B+∠BAC)=sinBcos∠BAC+cosBsin∠BAC=…………………….(6分)
(2)由正弦定理
又,……………….(8分)
解得……………………(9分)
所以,由余弦定理,AD2=AB2+BD2﹣2AB?BD?cosB,
解得AD=5…………………………(12分)
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,考查计算能力.
19.如图,已知四棱锥P–ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.

(1)证明:平面PAB;
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】(1)如图,设PA中点为F,连接EF,FB.
因为E,F分别为PD,PA中点,
所以且,
又因为,,
所以且,即四边形BCEF为平行四边形,
所以,
因此平面PAB.


MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.
设CD=1.
在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=得CE=,
在△PBN中,由PN=BN=1,PB=得QH=,
在Rt△MQH中,QH=,MQ=,
所以sin∠QMH=,
所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.
【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理,属于中档题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题(1)是就是利用方法①证明的.
20.已知数列{an}的前n项和为Sn,向量=(Sn,2),满足条件⊥
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.

【分析】(1)根据向量的数量积和可得Sn=2n+1﹣2,再根据数列的递推公式即可求出,
(2)根据错位相减法即可求出数列{cn}的前n项和Tn
【解答】解:(1)∵⊥,
∴?=Sn+2﹣2n+1=0,
∴Sn=2n+1﹣2,
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n,
当n=1时,a1=S1=2满足上式,
∴an=2n,
(2)∵cn==,
∴,两边同乘,
得,两式相减得:

∴.
【点评】本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法,属于中档题
21.已知函数.
(Ⅰ)证明曲线上任意一点处的切线斜率不小于2;
(Ⅱ)设,若有两个极值点,且,证明: .
【解析】试题分析:(Ⅰ)先求导函数,只需证明成立即可;(Ⅱ)令, ,可知两根为,结合韦达定理可化简得,研究函数的单调性,可证结论.

当时, ,
由得, ,设两根为,则,
其中,
在上递增,在上递减,在上递增,
从而有两个极值点,且,


即,
构造函数, ,
所以在上单调递减, 且.故.
22.在平面直角坐标系中,直线,曲线为参数),以以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
求的极坐标方程;
若曲线的极坐标方程为,且曲线分别交于点两点,求的最大值.
【解析】 ,

, , ,
, ,
曲线为,
设,
则,

【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查三角函数最值的求法,是中档题.
23.已知函数f(x)=|x+a|.
(1)当a=﹣5时,解不等式f(x)≤1+|1﹣2x|;
(2)若f(x)+f(﹣x)<4存在实数解,求实数a取值范围.
【分析】(1)通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;
(2)根据绝对值数据不等式的性质得到关于a的不等式,解出即可.
【解答】解:(1)|x﹣5|﹣|2x﹣1|≤1,
当x≤时,5﹣x﹣1+2x≤1,解得:x≤﹣3,
当<x<5时,5﹣x﹣2x+1≤1,解得:≤x<5,
当x≥5时,x﹣5﹣2x+1≤1,解得:x≥﹣5,故x≥5,
综上:不等式解集为{x|x≤﹣3或x≥};
(2)存在x使得|x+a|+|x﹣a|<4 成立,
∴(|x+a|+|x﹣a|)min<4,
∴2|a|<4,解得:﹣2<a<2.
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想以及转化思想,是一道中档题.


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