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安徽省定远重点中学2019届高三上学期期中考试数学(理)试卷(有答案)
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2019/4/3  
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定远重点中学2019届高三上学期期中考试
数学试题(理科)

姓名: 座位号:
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共150分,考试时间120分钟。请在答题卷上作答。
第I卷 (选择题 共60分)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。)
1.已知集合M={x|≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则M∩N等于(  )
A. ? B. {x|x≥1} C. {x|x>1} D. {x|x≥1或x<0}
2.若α∈R,则“α=0”是“sinα<cosα”的(  )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设的三个内角,向量,,若,则=( ).
A. B. C. D.
4.设是公差不为0的等差数列,,且成等比数列,则的前项和( ).
A. B. C. D.
5.函数y=esin x(-π≤x≤π)的大致图象为 (  )

6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是(  )
A. B.∪
C. D.
7.将函数y=sinx的图像向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图像,则下列说法正确的是(  )
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的周期为π
C.y=f(x)的图像关于直线x=对称
D.y=f(x)的图像关于点对称
8.设函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0).若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是(  )
A. 当a<0时,x1+x2<0,y1+y2>0
B. 当a<0时,x1+x2>0,y1+y2<0
C. 当a>0时,x1+x2<0,y1+y2<0
D. 当a>0时,x1+x2>0,y1+y2>0
9.已知a=21.2,b=-0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为(  )
A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a
10.设函数f(x)=F(x)=f(x)+x,x∈R.F(x)的值域为(  )
A. (-∞,1] B. [2,+∞)
C. (-∞,1]∪[2,+∞) D. (-∞,1)∪(2,+∞)
11.在中角、、所对边长分别为,若,则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,则实数a的取值范围是(  )
A.a≤2 B. 5≤a≤7 C. 4≤a≤6 D.a≤5或a≥7

第II卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.如图,已知△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,且,则实数m=________.

14.设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+5y的最大值为4,则m的值为________.
15.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0,则m+n=________.
16.设{an}是等比数列,公比,Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项,则= .
三、解答题(共6小题 ,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
17.(本小题满分10分)
在△ABC中,p:cosB>0;q:函数y=sin为减函数.
(1)如果p为假命题,求函数y=sin+B的值域;
(2)若“p且q”为真命题,求B的取值范围.
18. (本小题满分12分)
已知各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=15,且a3+1为
a1+1和a7+1的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn;
(2)设Tn为数列{}的前n项和,问是否存在常数m,使Tn=m[+],若存在,求m的值;若不存在,说明理由.

19. (本小题满分12分)
△ABC的三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,且满足csinA+acosC=0.
(1)求C的值;
(2)若cosA=,c=5,求sinB和b的值.

20. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=mx+3,g(x)=x2+2x+m.
(1) 求证:函数f(x)-g(x)必有零点;
(2) 设函数G(x)=f(x)-g(x)-1,若|G(x)|在[-1,0]上是减函数,求实数m的取值范围.

21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.
(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;
(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立,求实数k的取值范围.

22. (本小题满分12分)
设f(x)=-x3+x2+2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间,求a的取值范围;
(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值.



2018-2019学年度高三上学期期中考试
理科数学试题答案
1. C
2. A
3. C
4. A
5. D
6. C
7. D
8. B
9. A
10. C
11. C
12. B
13. 1
14. 3
15. 11
16. 4
17. 【解析】 (1)由p为假命题,则cosB≤0,
∵0<B<π,∴≤B<π,∴π≤B+<π,
∴y=sin的值域为.
(2)∵“p且q”为真命题,∴p真q真.
由p:cosB>0,解得0<B<,
由q:函数y=sin为减函数,
∴<B+<π,
∴<B<π,
∴<B<.
18. (1)an=2n+1,Sn=n(n+2).(2)存在常数m=
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,由已知,可得
S3=a1+a2+a3=15,得a2=a1+d=5,
由a3+1为a1+1和a7+1的等比中项,
可得(6+d)2=(6-d)×(6+5d),化简得d2-2d=0,
解得d=0(不合题意,舍去)或d=2,
当d=2时,a1=3,其通项公式为an=3+(n-1)×2=2n+1,前n项和Sn=n(n+2).
(2)由(1)知数列{an}的前n项和为Sn=n(n+2),
则有==(-),
Tn=(1-+-+-+…+-+-)=(1+--)=[+].
故存在常数m=,使得Tn=m[+]成立.
19. C=. sinB=,b=3-4.
【解析】(1)将csinA+acosC=0利用正弦定理化简得:2RsinCsinA+2RsinAcosC=0,
即2sinCsinA+2sinAcosC=0,
∵sinA≠0,∴sinC+cosC=0,即tanC=-,
∵C∈(0,π),∴C=.
(2)∵cosA=,A∈,∴sinA==,则sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=,
∵sinB=,c=5,sinC=sin=,
则由正弦定理=,得:
b===3-4.
20. (1) 证明:f(x)-g(x)=(mx+3)-(x2+2x+m)=-x2+(m-2)x+(3-m).
由Δ1=(m-2)2+4(3-m)=m2-8m+16=(m-4)2≥0,知函数f(x)-g(x)必有零点.
(2) |G(x)|=|-x2+(m-2)x+(2-m)|=|x2-(m-2)x+(m-2)|,
Δ2=(m-2)2-4(m-2)=(m-2)(m-6),
① 当Δ2≤0,即2≤m≤6时,
|G(x)|=x2-(m-2)x+(m-2),
若|G(x)|在[-1,0]上是减函数,则≥0,即m≥2,所以2≤m≤6时,符合条件.
② 当Δ2>0,即m<2或m>6时,
若m<2,则<0,要使|G(x)|在[-1,0]上是减函数,则≤-1且G(0)≤0,所以m≤0;
若m>6,则>2,要使|G(x)|在[-1,0]上是减函数,则G(0)≥0,所以m>6.
综上,m≤0或m≥2.
21. (1) [0,2](2)k∈(-∞,-3)
【解析】(1)h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2,
因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2].
故函数h(x)的值域为[0,2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得
(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x,
令t=log2x,因为x∈[1,4],所以t=log2x∈[0,2],
所以 (3-4t)(3-t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立,
①当t=0时,k∈R;
②当t∈(0,2]时,k<恒成立,即k<4t+-15恒成立,
因为4t+≥12,当且仅当4t=,即t=时取等号,
所以4t+-15的最小值为-3,即k∈(-∞,-3).
22. (1) a>-(2)
【解析】由f′(x)=-x2+x+2a=-2++2a,
当x∈时,f′(x)的最大值为f′=+2a;
令+2a>0,得a>-.
所以,当a>-时,f(x)在上存在单调递增区间.
(2)令f′(x)=0,得两根x1=,x2=.
所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.
当0<a<2时,有x1<1<x2<4,所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2),又f(4)-f(1)=-+6a<0,即f(4)<f(1).
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8a-=-.
得a=1,x2=2,从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)=.

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