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2017年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷(A)(有答案)
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2018/12/13  
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2016-2017学年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷(文科)(A卷)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.(5分)数列的前4项为1,﹣,,﹣,则此数列的通项公式可以是(  )
A.(﹣1)n B.(﹣1)n+1 C.(﹣1)n D.(﹣1)n+1
2.(5分)“x2+2x﹣8>0”是“x>2”成立的(  )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(5分)已知﹣9,a1,a2,﹣1四个实数成等差数列,﹣9,b1,b2,b3,﹣1五个实数成等比数列,则b2(a2﹣a1)=(  )
A.8 B.﹣8 C.±8 D.
4.(5分)若<<0,则下列结论不正确的是(  )
A.a2<b2 B.ab>b2 C.a+b<0 D.|a|+|b|>a+b
5.(5分)已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合,则此椭圆方程为(  )
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+y2=1
6.(5分)已知两函数y=x2﹣1与y=1﹣x3在x=x0处有相同的导数,则x0的值为(  )
A.0 B.﹣ C.0或﹣ D.0或1
7.(5分)我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”上述问题中,两鼠在第几天相逢.(  )
A.3 B.4 C.5 D.6、
8.(5分)已知F1、F2分别为椭圆+y2=1的左右两个焦点,过F1作倾斜角为的弦AB,则△F2AB的面积为(  )
A. B. C. D.﹣1
9.(5分)已知直线y=kx是y=lnx的切线,则k的值是(  )
A.e B.﹣e C. D.﹣
10.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于3p,则直线MF的斜率为(  )
A.± B.±1 C.+ D.±
11.(5分)已知f(x)=ax3+bx2+cx+d与x轴有3个交点(0,0),(x1,0),(x2,0),且f(x)在x=,x=时取极值,则x1?x2的值为(  )
A.4 B.2 C.6 D.不确定
12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2,b2,c2成等差数列,则sinB最大值为(  )
A. B. C. D.
 
二、填空题(共8小题,每小题5分,共40分)
13.(5分)命题“?x∈R,4x2﹣3x+2<0”的否定是   .
14.(5分)△ABC的周长等于3(sinA+sinB+sinC),则其外接圆直径等于   .
15.(5分)已知x,y满足约束条件,则3x﹣y的最小值为   .
16.(5分)在△ABC中,已知当A=,?=tanA时,△ABC的面积为   .
17.(5分)如果方程﹣=1表示双曲线,那么实数m的取值范围是   .
18.(5分)若f(x)=x3﹣3x+m有三个零点,则实数m的取值范围是   .
19.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0且=,则Sn为非负值的最大n值为   .
20.(5分)已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若?x1∈[,3],?x2∈[2,3],使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围   .
 
三、解答题(共5小题,每小题10分,共50分)
21.(10分)已知命题p:x2+2mx+(4m﹣3)>0的解集为R,命题q:m+的最小值为4,如果p与q只有一个真命题,求m的取值范围.
22.(10分)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,已知a5=9,S7=49.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=an?2n,求数列{bn}的前n项和.
23.(10分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,=.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形,求的范围.
24.(10分)已知椭圆E:+=1,(a>b>0)的e=,焦距为2.
(1)求E的方程;
(2)设点A,B,C在E上运动,A与B关于原点对称,且|AC|=|CB|,当△ABC的面积最小时,求直线AB的方程.
25.(10分)设函数f(x)=lnx+x2﹣2ax+a2,a∈R.
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在[1,3]上不存在单调增区间,求a的取值范围.
 

2016-2017学年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷(文科)(A卷)
参考答案与试题解析
 
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.(5分)数列的前4项为1,﹣,,﹣,则此数列的通项公式可以是(  )
A.(﹣1)n B.(﹣1)n+1 C.(﹣1)n D.(﹣1)n+1
【解答】解:数列为分式形式,奇数项为正数,偶数项为负数,则符合可以用(﹣1)n+1表示,
每一项的分母和项数n对应,用表示,
则数列的通项公式可以为(﹣1)n+1,
故选:B
 
2.(5分)“x2+2x﹣8>0”是“x>2”成立的(  )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解答】解:由x2+2x﹣8>0,解得:x>2或x<﹣4,
故“x2+2x﹣8>0”是“x>2”成立的必要不充分条件,
故选:A.
 
3.(5分)已知﹣9,a1,a2,﹣1四个实数成等差数列,﹣9,b1,b2,b3,﹣1五个实数成等比数列,则b2(a2﹣a1)=(  )
A.8 B.﹣8 C.±8 D.
【解答】解:由题得,
又因为b2是等比数列中的第三项,所以与第一项同号,即b2=﹣3
∴b2(a2﹣a1)=﹣8.
故选 B.
 
4.(5分)若<<0,则下列结论不正确的是(  )
A.a2<b2 B.ab>b2 C.a+b<0 D.|a|+|b|>a+b
【解答】解:∵<<0,可得:a<b<0,|a|>|b|,a2>b2,显然A不对,
故选:A.
 
5.(5分)已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合,则此椭圆方程为(  )
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+y2=1
【解答】解:椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=﹣8x的焦点(﹣2,0)重合,
可得c=2,则a=4,b=2,
则此椭圆方程为:+=1.
故选:A.
 
6.(5分)已知两函数y=x2﹣1与y=1﹣x3在x=x0处有相同的导数,则x0的值为(  )
A.0 B.﹣ C.0或﹣ D.0或1
【解答】解:∵y=x2﹣1,∴y′=2x,=2x0,
∵y=1﹣x3,∴y′=﹣3x2,,
∵两函数y=x2﹣1与y=1﹣x3在x=x0处有相同的导数,
∴,解得x0=0或x0=﹣.
故选:C.
 
7.(5分)我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”上述问题中,两鼠在第几天相逢.(  )
A.3 B.4 C.5 D.6、
【解答】解:由题意可知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,
前n天打洞之和为=2n﹣1,
同理,小老鼠每天打洞的距离=2﹣,
∴2n﹣1+2﹣=10,
解得n∈(3,4),取n=4.
即两鼠在第4天相逢.
故选:B.
 
8.(5分)已知F1、F2分别为椭圆+y2=1的左右两个焦点,过F1作倾斜角为的弦AB,则△F2AB的面积为(  )
A. B. C. D.﹣1
【解答】解:椭圆+y2=1的左右两个焦点(﹣1,0),过F1作倾斜角为的弦AB,可得直线AB的方程为:y=x+1,
把 y=x+1 代入 x2+2y2=2 得3x2+4x=0,
解得x1=0 x2=﹣,y1=1,y2=﹣,
∴S=?|F1F2|?|y1﹣y2|==.
故选:B.
 
9.(5分)已知直线y=kx是y=lnx的切线,则k的值是(  )
A.e B.﹣e C. D.﹣
【解答】解:∵y=lnx,∴y'=,
设切点为(m,lnm),得切线的斜率为 ,
所以曲线在点(m,lnm)处的切线方程为:y﹣lnm=×(x﹣m).
它过原点,∴﹣lnm=﹣1,∴m=e,
∴k=.
故选C.
 
10.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于3p,则直线MF的斜率为(  )
A.± B.±1 C.+ D.±
【解答】解:根据定义,点P与准线的距离也是3P,
设M(x0,y0),则P与准线的距离为:x0+,
∴x0+=3p,x0=p,
∴y0=±p,
∴点M的坐标(p,±p).
直线MF的斜率为:=.
故选:D.
 
11.(5分)已知f(x)=ax3+bx2+cx+d与x轴有3个交点(0,0),(x1,0),(x2,0),且f(x)在x=,x=时取极值,则x1?x2的值为(  )
A.4 B.2 C.6 D.不确定
【解答】解:∵f(0)=0,∴d=0.
f′(x)=3ax2+2bx+c,
∵f(x)在x=,x=时取极值,
∴f′()=0,f′()=0,
a≠0,可得2×++3=0,4×++12=0,解得:=6,
又f(x)=x(ax2+bx+c),
f(x1)=f(x2)=0,x1,x2≠0.
∴x1x2==2,.
故选:B.
 
12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2,b2,c2成等差数列,则sinB最大值为(  )
A. B. C. D.
【解答】解:由题意可得2b2=a2 +c2 ,由余弦定理可得cosB==≥,
当且仅当a=c时,等号成立.
又 0<B<π,
∴0<B≤,
∵sinB在(0,]单调递增,
∴可得sinB的最大值是sin=.
故选:D.
 
二、填空题(共8小题,每小题5分,共40分)
13.(5分)命题“?x∈R,4x2﹣3x+2<0”的否定是 ?x∈R,4x2﹣3x+2≥0 .
【解答】解:原命题为“?x∈R,4x2﹣3x+2<0
∵原命题为全称命题
∴其否定为存在性命题,且不等号须改变
∴原命题的否定为:?x∈R,4x2﹣3x+2≥0
故答案为:?x∈R,4x2﹣3x+2≥0
 
14.(5分)△ABC的周长等于3(sinA+sinB+sinC),则其外接圆直径等于 3 .
【解答】解:由正弦定理得,,
且R是△ABC的外接圆半径,
则sinA=,sinB=,sinC=,
因为△ABC的周长等于3(sinA+sinB+sinC),
所以a+b+c=3(sinA+sinB+sinC)=3(++),
化简得,2R=3,
即其外接圆直径等于3,
故答案为:3.
 
15.(5分)已知x,y满足约束条件,则3x﹣y的最小值为 ﹣3 .
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=3x﹣y得y=3x﹣z,
平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时,直线y=3x﹣z的截距最大,
此时z最小.
由,解得,
即A(0,3),
此时z=3×0﹣3=﹣3,
故答案为:﹣3.

 
16.(5分)在△ABC中,已知当A=,?=tanA时,△ABC的面积为  .
【解答】解:由A=,?=tanA,得?=tanA=tan=.
∴,则,
∴==.
故答案为:.
 
17.(5分)如果方程﹣=1表示双曲线,那么实数m的取值范围是 (﹣1,1)∪(2,+∞) .
【解答】解:∵方程﹣=1表示双曲线,
∴(|m|﹣1)(m﹣2)>0,
解得﹣1<m<1或m>2,
∴实数m的取值范围是(﹣1,1)∪(2,+∞).
故答案为:(﹣1,1)∪(2,+∞).
 
18.(5分)若f(x)=x3﹣3x+m有三个零点,则实数m的取值范围是 ﹣2<m<2 .
【解答】解:由函数f(x)=x3﹣3x+m有三个不同的零点,
则函数f(x)有两个极值点,极小值小于0,极大值大于0.
由f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1)=0,解得x1=1,x2=﹣1,
所以函数f(x)的两个极值点为 x1=1,x2=﹣1.
由于x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)>0; x∈(﹣1,1)时,f′(x)<0; x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,
∴函数的极小值f(1)=m﹣2和极大值f(﹣1)=m+2.
因为函数f(x)=x3﹣3x+m有三个不同的零点,
所以 ,解之得﹣2<m<2.
故答案为:﹣2<m<2.
 
19.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0且=,则Sn为非负值的最大n值为 20 .
【解答】解:设等差数列的公差为d,由=,
得=,
即2a1+19d=0,解得d=﹣,
所以Sn=na1+×(﹣)≥0,
整理,得:
Sn=na1?≥0.
因为a1>0,
所以20﹣n≥0即n≤20,
故Sn为非负值的最大n值为20.
故答案是:20.
 
20.(5分)已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若?x1∈[,3],?x2∈[2,3],使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围 a≤ .
【解答】解:当x1∈[,3]时,由f(x)=x+得,f′(x)=,
令f′(x)>0,解得:x>2,令f′(x)<0,解得:x<2,
∴f(x)在[,2]单调递减,在(2,3]递增,
∴f()=8.5是函数的最大值,
当x2∈[2,3]时,g(x)=2x+a为增函数,
∴g(3)=a+8是函数的最大值,
又∵?x1∈[,3],都?x2∈[2,3],使得f(x1)≥g(x2),
可得f(x)在x1∈[,3]的最大值不小于g(x)在x2∈[2,3]的最大值,
即8.5≥a+8,解得:a≤,
故答案为:a≤.
 
三、解答题(共5小题,每小题10分,共50分)
21.(10分)已知命题p:x2+2mx+(4m﹣3)>0的解集为R,命题q:m+的最小值为4,如果p与q只有一个真命题,求m的取值范围.
【解答】解:命题p真:△=4m2﹣4(4m﹣3)<0?1<m<3
命题q真:m+=m﹣2++2的最小值为4,则m>2,
当p真,q假时,1<m<3且m≤2,?1<m≤2;
当p假,q真时,m≤1或m≥3且m>2,?m≥3;
综上:m的取值范围(1,2]∪[3,+∞)
 
22.(10分)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,已知a5=9,S7=49.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=an?2n,求数列{bn}的前n项和.
【解答】解:(1)在等差数列{an}中,由S7=7(a1+a7)=49,得:a4=7,又∵a5=9,∴公差d=2,a1=1,
∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1 (n∈N+),
(2)bn=an?2n=(2n﹣1)?2n,
令数列{bn}的前n项和为Tn,
Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n﹣3)×2n﹣1+(2n﹣1)?2n…①
2 Tn=1×22+3×23++…+(2n﹣5)×2n﹣1+(2n﹣3)?2n+(2n﹣1)?2n+1…②
﹣Tn=2+2(22+23++…+2n﹣1+?2n)﹣(2n﹣1)?2n+1=2+2n+2﹣8﹣+(2n﹣1)?2n+1;
∴Tn=(2n﹣3)2n+1+6.
 
23.(10分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,=.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形,求的范围.
【解答】解:(1)由题意知,,
由正弦定理得,,
化简得,,
即,
由余弦定理得,cosA==,
又0<A<π,则A=;
(2)由(1)得A=,又A+B+C=π,则B=﹣C,
因为△ABC是锐角三角形,
所以,解得,
由正弦定理得,=
==
=,
由得,tanC>1,即,
所以,
即的范围是.
 
24.(10分)已知椭圆E:+=1,(a>b>0)的e=,焦距为2.
(1)求E的方程;
(2)设点A,B,C在E上运动,A与B关于原点对称,且|AC|=|CB|,当△ABC的面积最小时,求直线AB的方程.
【解答】解:(1)∵椭圆E:+=1,(a>b>0)的e=,焦距为2,
∴,解得a=2,b=1,
∴椭圆E的方程为.
(2)当AB为长轴(或短轴)时,依题意C是椭圆的上下顶点(或左右顶点),
此时S△ABC=|OC|×|AB|=2.
当直线AB的斜率不为0时,设其斜率为k,直线AB的方程为y=kx,
联立方程组,得=,,
∴|OA|2==,
由|AC|=|CB|知,△ABC为等股三角形,O为AB的中点,OC⊥AB,
∴直线直线OC的方程为y=﹣,
由,解得=,=,|OC|2=.
S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|==.
∵≤=,
∴,
当且仅当1+4k2=k2+4,即k=±1时,等号成立,
此时△ABC面积的最小值是,
∵2>,∴△ABC面积的最小值为,
此时直线直线AB的方程为y=x或y=﹣x.
 
25.(10分)设函数f(x)=lnx+x2﹣2ax+a2,a∈R.
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在[1,3]上不存在单调增区间,求a的取值范围.
【解答】解:(1)a=2时,f(x)=lnx+x2﹣4x+4,(x>0),
f′(x)=+2x﹣4=,
令f′(x)>0,解得:x>或x<,
令f′(x)<0,解得:<x<,
故f(x)在(0,)递增,在(,)递减,在(,+∞)递增;
(2)f′(x)=+2x﹣2a=,x∈[1,3],
设g(x)=2x2﹣2ax+1,
假设函数f(x)在[1,3]上不存在单调递增区间,
必有g(x)≤0,
于是,解得:a≥.
 
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