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2017学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷((有答案))
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2018/12/13  
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2016-2017学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(3分)“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的(  )
A.充而分不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(3分)已知F1(﹣3,0),F2(3,0),动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4,则点P的轨迹是(  )
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.不存在
3.(3分)在空间直角坐标中,点P(﹣1,﹣2,﹣3)到平面xOz的距离是(  )
A.1 B.2 C.3 D.
4.(3分)已知空间两点A(3,3,1),B(﹣1,1,5),则线段AB的长度为(  )
A.6 B. C. D.
5.(3分)抛物线y2=﹣x的准线方程是(  )
A.y= B.y= C.x= D.x=
6.(3分)焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,则椭圆的标准方程为(  )
A. B.
C. D.
7.(3分)直线l1、l2的方向向量分别为,,则(  )
A.l1⊥l2 B.l1∥l2
C.l1与l2相交不平行 D.l1与l2重合
8.(3分)已知在空间四边形ABCD中,,,,则=(  )
A. B. C. D.
9.(3分)已知F1,F2是双曲线的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,若∠PF2Q=90°,则双曲线的离心率为(  )
A.2 B. C. D.
10.(3分)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为(  )
A.2 B.3 C.6 D.8
 
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
11.(5分)顶点在原点,对称轴是y轴,且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是   .
12.(5分)已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且其中一条渐近线为,则该双曲线的标准方程是   .
13.(5分)已知椭圆的三个顶点B1(0,﹣b),B2(0,b),A(a,0),焦点F(c,0),且B1F⊥AB2,则椭圆的离心率为   .
14.(5分)(理)已知A(1,0,0),B(0,﹣1,1),+λ与的夹角为120°,则λ=   .
 
三、解答题(本大题共5小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上,c=6,;
(2)经过点(2,0),.
16.(10分)已知A、B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为(1,0),线段AB恰被M(2,1)所平分.
(Ⅰ)求抛物线E的方程;
(Ⅱ)求直线AB的方程.
17.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,BC=4,AB=PA=2,M为线段PC的中点,N在线段BC上,且BN=1.
(Ⅰ)证明:BM⊥AN;
(Ⅱ)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.

18.(10分)已知椭圆+=1(a>b>0)过点A(a,0),B(0,b)的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在实数k,使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点,以PQ为直径的圆过点D(1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
19.(10分)如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.已知∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3,A1B1=B1C1=1.
(1)设点O是AB的中点,证明:OC∥平面A1B1C1;
(2)求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值.

 

2016-2017学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
 
一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(3分)“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的(  )
A.充而分不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解答】解:当“m>n>0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立,
即“m>n>0”?”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题,
当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m>n>0”也成立,
即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”?“m>n>0”也为真命题,
故“m>n>0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件,
故选:C.
 
2.(3分)已知F1(﹣3,0),F2(3,0),动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4,则点P的轨迹是(  )
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.不存在
【解答】解:F1(﹣3,0),F2(3,0),动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4,
因为|F1F2|=6>4,则点P的轨迹满足双曲线定义,是双曲线的一支.
故选:B.
 
3.(3分)在空间直角坐标中,点P(﹣1,﹣2,﹣3)到平面xOz的距离是(  )
A.1 B.2 C.3 D.
【解答】解:∵点P(﹣1,﹣2,﹣3),
∴点P(﹣1,﹣2,﹣3)到平面xOz的距离是2,
故选B.
 
4.(3分)已知空间两点A(3,3,1),B(﹣1,1,5),则线段AB的长度为(  )
A.6 B. C. D.
【解答】解:空间两点A(3,3,1),B(﹣1,1,5),
则线段AB的长度为
|AB|==6.
故选:A.
 
5.(3分)抛物线y2=﹣x的准线方程是(  )
A.y= B.y= C.x= D.x=
【解答】解:抛物线y2=﹣x的开口向左,且2p=,∴=
∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=
故选D.
 
6.(3分)焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,则椭圆的标准方程为(  )
A. B.
C. D.
【解答】解:焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,
可得a+b=10,2c=4,c=2,即a2﹣b2=20,
解得a2=36,b2=16,
所求椭圆方程为:.
故选:C.
 
7.(3分)直线l1、l2的方向向量分别为,,则(  )
A.l1⊥l2 B.l1∥l2
C.l1与l2相交不平行 D.l1与l2重合
【解答】解:∵直线l1、l2的方向向量分别为,,
∴1×8﹣3×2﹣1×2=0,
∴l1⊥l2.
故选A.
 
8.(3分)已知在空间四边形ABCD中,,,,则=(  )
A. B. C. D.
【解答】解:∵在空间四边形ABCD中,,,,
∴==()﹣
=()﹣
=.
故选:B.

 
9.(3分)已知F1,F2是双曲线的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,若∠PF2Q=90°,则双曲线的离心率为(  )
A.2 B. C. D.
【解答】解:∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,∠PF2Q=90°,
∴|PF1|=|F1F2|
∴=2c,
∴e2﹣2e﹣1=0,
∵e>1,
∴e=1+.
故选:D.
 
10.(3分)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为(  )
A.2 B.3 C.6 D.8
【解答】解:由题意,F(﹣1,0),设点P(x0,y0),则有,解得,
因为,,
所以=,
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2,
因为﹣2≤x0≤2,所以当x0=2时,取得最大值,
故选C.
 
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
11.(5分)顶点在原点,对称轴是y轴,且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是 x2=±24y .
【解答】解:顶点在原点,对称轴是y轴,且顶点与焦点的距离等于6,可得抛物线方程p=12,
所求抛物线方程为:x2=±24y.
故答案为:x2=±24y.
 
12.(5分)已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且其中一条渐近线为,则该双曲线的标准方程是  .
【解答】解:双曲线与椭圆有相同的焦点(,0),焦点坐标在x轴,双曲线的一条渐近线为,
可得=,a2+b2=13,可得a2=4,b2=9.
所求双曲线方程为:.
故答案为:.
 
13.(5分)已知椭圆的三个顶点B1(0,﹣b),B2(0,b),A(a,0),焦点F(c,0),且B1F⊥AB2,则椭圆的离心率为  .
【解答】解:椭圆的三个顶点B1(0,﹣b),B2(0,b),A(a,0),焦点F(c,0),且B1F⊥AB2,
可得:=0,即b2=ac,即a2﹣c2﹣ac=0,
可得e2+e﹣1=0,e∈(0,1),
解得e=.
故答案为:.
 
14.(5分)(理)已知A(1,0,0),B(0,﹣1,1),+λ与的夹角为120°,则λ=  .
【解答】解:+λ=(1,0,0)+λ(0,﹣1,1)=(1,﹣λ,λ).
∵+λ与的夹角为120°,
∴cos120°==,
化为,∵λ<0,
∴λ=.
故答案为:.
 
三、解答题(本大题共5小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上,c=6,;
(2)经过点(2,0),.
【解答】(1)解:由得,,解得,a=9,
∵a2=b2+c2,∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45,
∵焦点在y轴上,∴椭圆的标准方程为;
(2)解:由e=,设a=2k,c=(k>0),
则b=,
由于椭圆经过点为(2,0),即为椭圆的顶点,且在x轴上,
若点(2,0)为长轴的顶点,则a=2,
此时2k=2,∴k=1,得b=1,
则椭圆的标准方程为.
若点(2,0)为短轴的顶点,则b=2,此时k=2,得a=4,
则椭圆的标准方程为.
 
16.(10分)已知A、B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为(1,0),线段AB恰被M(2,1)所平分.
(Ⅰ)求抛物线E的方程;
(Ⅱ)求直线AB的方程.
【解答】解:(Ⅰ)令抛物线E的方程:y2=2px(p>0)
∵抛物线E的焦点为(1,0),∴p=2
∴抛物线E的方程:y2=4x
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2,
两式相减,得(y2﹣y1)/(y1+y2)=4(x2﹣x1)
∵线段AB恰被M(2,1)所平分
∴y1+y2=2
∴=2
∴AB的方程为y﹣1=2(x﹣2),即2x﹣y﹣3=0.
 
17.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,BC=4,AB=PA=2,M为线段PC的中点,N在线段BC上,且BN=1.
(Ⅰ)证明:BM⊥AN;
(Ⅱ)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.

【解答】(本题满分12分)
解:如图,以A为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,2),M(1,2,1),N(2,1,0),…(3分)
(Ⅰ)∵=(2,1,0),=(﹣1,2,1),…(4分)
∴?=0…(5分)
∴⊥,即AN⊥BM…(6分)
(Ⅱ)设平面PCD的法向量为=(x,y,z),…(7分)
∵=(2,4,﹣2),=(0,4,﹣2),
由,可得,…(9分)
解得:,
取y=1得平面MBD的一个法向量为=(0,1,2),…(10分)
设直线MN与平面PCD所成的角为θ,则由=(﹣1,1,1),…(11分)
可得:sinθ=|cos<,>|=||==…(12分)

 
18.(10分)已知椭圆+=1(a>b>0)过点A(a,0),B(0,b)的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在实数k,使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点,以PQ为直径的圆过点D(1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)∵椭圆+=1(a>b>0)过点A(a,0),B(0,b)的直线倾斜角为,
原点到该直线的距离为,
∴,,
解得a=,b=1,
∴椭圆方程是.
(2)将y=kx+2代入,
得(3k2+1)x2+12kx+9=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),以PQ为直径的圆过D(1,0)
则PD⊥QD,即(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=0,
又y1=kx1+2,y2=kx2+2,
得(k2+x)x1x2+(2k﹣1)(x1+x2)+5=0,
又,,
代上式,得k=,
∵此方程中,△=144k2﹣36(3k2+1)>0,∴k>1,或k<﹣1.
∴存在k=﹣满足题意.
 
19.(10分)如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.已知∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3,A1B1=B1C1=1.
(1)设点O是AB的中点,证明:OC∥平面A1B1C1;
(2)求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值.

【解答】(本题满分10分)
(1)证明:如图,以B1为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.…(1分)
依题意,,
因为,…(3分)
所以,
所以,
又OC?平面A1B1C1,所以OC∥平面A1B1C1.…(4分)
(2)解:依题意,结合(1)中的空间直角坐标系,得A(0,1,4),B(0,0,2),C(1,0,3),A1(0,1,0),
则,…(5分)
设为平面ABC的一个法向量,
由得解得
不妨设z1=1,则x1=﹣1,y1=﹣2,
所以.…(7分)
设为平面ACA1的一个法向量,
由得解得
不妨设y2=1,则x2=1,
所以.…(9分)
因为,,
于是,
所以,二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为.…(10分)

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