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北师大版九年级数学上思维特训(五)有答案:配方法的妙用
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:试题、练习
上传日期:2018/10/11  
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思维特训(五) 配方法的妙用
/
1.配方法是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式的恒等变形,是一种很重要、很基本的数学方法,如能灵活运用,可以得到多种配方形式:
①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;②a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab=+;③a2+b2+c2+ab+bc+ac=[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2].
2.配方的方法技巧:配方的目标是出现完全平方式,有时需要在代数式中拆项、添项、分组才能写出完全平方式.常用以下三种形式:(1)由a2+b2配上2ab,(2)由2ab配上a2+b2,(3)由a2±2ab配上b2.同一个式子可以有不同的配方法和配方结果.
/
类型一 完全平方式
1.若4x2+kxy+y2表示一个完全平方式,则k的值为(  )
A.4 B.±4 C.±8 D.8
2.已知9x2+18(n-1)x+18n是完全平方式,求常数n的值.







3.若x2-6x+1=0,求x2+-1的值.








4.已知a,b,c为整数,且满足a2+b2+c2+3<ab+3b+2c,求(++)abc的值.









类型二 最大(小)值
5.已知多项式p=a2+2b2+2a+4b+5,则p的最小值是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.多项式-x2-x+取得最大值时,x的值为(  )
A.- B.- C. D.
7.无论x取何值,二次三项式-3x2+12x-11的值都不超过________.
8.对关于x的二次三项式x2+4x+9进行配方得x2+4x+9=(x+m)2+n.
(1)求m,n的值;
(2)当x为何值时,x2+4x+9有最小值?最小值是多少?












9.先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:
例题:求代数式y2+4y+8的最小值.
解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4.
∵(y+2)2≥0,∴(y+2)2+4≥4,∴y2+4y+8的最小值是4.
(1)求代数式m2+m+4的最小值;
(2)求代数式4-x2+2x的最大值;
(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个长方形花园ABCD,花园一边靠墙,另三边用总长为20 m的栅栏围成.如图5-S-1,设AB=xm,请问:当x取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少?
/
图5-S-1









类型三 非负数的和为0
10.已知a,b,c满足a2+2b=7,b2-2c=-1,c2-6a=-17,则a+b+c的值等于(  )
A.2 B.3 C.4 D.5
11.已知4x2-4x+1+=0,求x+y的值.













12.若a,b,c是△ABC的三边长,且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断△ABC的形状.








13.已知代数式(x-a)(x-b)-(x-b)(c-x)+(a-x)(c-x)是一个完全平方式,试问以a,b,c为三边长的三角形是什么三角形?

详解详析
1.B [解析]若4x2+kxy+y2表示一个完全平方式,则可以配成(2x±y)2的形式,则k=±4.
2.解:根据题意,得18(n-1)=±2×3×.化简,得n-1=±.两边平方,得n2-2n+1=2n,解得n=2±.
3.解:∵x2-6x+1=0,∴x-6+=0,
∴x+=6,
两边平方,得x2+2·x·+=36,
∴x2+=36-2=34,
∴x2+-1=34-1=33.
4.解:由a,b,c均为整数,a2+b2+c2+3<ab+3b+2c,
得a2+b2+c2+3≤ab+3b+2c-1,
∴4a2+4b2+4c2+12≤4ab+12b+8c-4,
(4a2-4ab+b2)+(3b2-12b+12)+(4c2-8c+4)≤0,
(2a-b)2+3(b2-4b+4)+4(c2-2c+1)≤0,
(2a-b)2+3(b-2)2+4(c-1)2≤0,
∴2a-b=0,b-2=0,c-1=0,
解得a=1,b=2,c=1,
∴=.
5.B [解析]p=a2+2b2+2a+4b+5=(a+1)2+2(b+1)2+2≥2.故选B.
6.A [解析]-x2-x+=-(x+)2+,
∵-(x+)2≤0,∴-(x+)2+≤,
∴当x=-时,多项式-x2-x+取得最大值.
故选A.
7.1 [解析]∵-3x2+12x-11=-3(x2-4x+4)+12-11=-3(x-2)2+1≤1,∴无论x取何值,二次三项式-3x2+12x-11的值都不超过1.
8.解:(1)∵x2+4x+9=(x+m)2+n=x2+2mx+m2+n,
∴2m=4,m2+n=9,解得m=2,n=5.
(2)∵m=2,n=5,
∴x2+4x+9=(x+m)2+n=(x+2)2+5,
∴当x=-2时,x2+4x+9有最小值,最小值是5.
9.解:(1)m2+m+4=(m+)2+.
∵(m+)2≥0,∴(m+)2+≥,
则代数式m2+m+4的最小值是.
(2)4-x2+2x=-(x-1)2+5.
∵-(x-1)2≤0,∴-(x-1)2+5≤5,
则代数式4-x2+2x的最大值为5.
(3)由题意,得花园的面积是x(20-2x)=-2x2+20x,
∵-2x2+20x=-2(x-5)2+50,-2(x-5)2≤0,∴-2(x-5)2+50≤50,∴-2x2+20x的最大值是50,此时x=5,则当x=5时,花园的面积最大,最大面积是50 m2.
10.B [解析]由a2+2b=7,b2-2c=-1,c2-6a=-17得a2+2b+b2-2c+c2-6a+11=0,
∴(a-3)2+(b+1)2+(c-1)2=0,
∴a=3,b=-1,c=1,
∴a+b+c=3.故选B.
11.解:4x2-4x+1+=0,即(2x-1)2+=0.
∵(2x-1)2≥0,≥0,
∴2x-1=0且=0,∴x=,y=,
则x+y=+=.
12.解:由已知条件可把原式变形为(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.
∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0,
∴a-3=0,b-4=0,c-5=0,即a=3,b=4,c=5,故△ABC为直角三角形.
13.解:原式=x2-(a+b)x+ab+x2-(b+c)x+bc+x2-(a+c)x+ac=3x2-(2a+2b+2c)x+ab+bc+ac,
∵结果为完全平方式,即Δ=(2a+2b+2c)2-4×3(ab+bc+ac)=0,
∴a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,即2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,
∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,即a=b=c,
则以a,b,c为三边长的三角形是等边三角形.
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