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北师大版九年级数学上思维特训(一)有答案:正方形的旋转变换
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:试题、练习
上传日期:2018/10/11  
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思维特训(一) 正方形的旋转变换
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解决与正方形旋转有关的题目,需要将旋转的性质与正方形的性质相结合,通过借助特殊的三角形、全等三角形、相似三角形等知识寻找解题思路.
/
1.如图1-S-1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且∠EAF=45°,将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E′处,连接EE′,则下列判断不正确的是(  )
/
图1-S-1
A.△AEE′是等腰直角三角形
B.AF垂直平分EE′
C.△E′EC∽△AFD
D.△AE′F是等腰三角形
   
2.如图1-S-2,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2,其中正确的结论是________(填序号).
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图1-S-2
3.如图1-S-3,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的.想一想,这是为什么.
/
 图1-S-3






4.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共顶点A,点G,E分别在线段AD,AB上,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,连接DG,如图1-S-4,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等?并说明理由.
/
图1-S-4





5.如图1-S-5,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C,D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.我们探究图中线段BG和线段DE的长度关系及其所在直线的位置关系.
(1)猜想图①中线段BG和线段DE的长度关系及其所在直线的位置关系;
(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图②、如图③的情形.请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立,并选取图②证明你的判断.
/
图1-S-5







6.如图1-S-6①,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与点A,C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.
(1)求证:BP=DP.
(2)如图②,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明.
(3)试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连接,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并给出证明.
/
 图1-S-6














7.如图1-S-7,正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度n后得到正方形AEFG,边EF与CD相交于点O.
(1)以图中已标有字母的点为端点连接两条线段(正方形的对角线除外),要求所连接的两条线段相交且互相垂直,并说明这两条线段互相垂直的理由;
(2)若正方形的边长为2 cm,重叠部分(四边形AEOD)的面积为 cm2,求旋转的角度n.
/
 图1-S-7

详解详析
1.D [解析]∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E′处,∴AE′=AE,∠E′AE=90°,
∴△AEE′是等腰直角三角形,故A正确;
∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E′处,∴∠E′AD=∠BAE.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°.
∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠E′AD+∠DAF=45°,∴∠E′AF=∠EAF.
又∵AE′=AE,∴AF垂直平分EE′,故B正确;∵AF⊥E′E,∠ADF=90°,∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF,∴∠FE′E=∠DAF,∴△E′EC∽△AFD,故C正确;
∵AD⊥E′F,但∠E′AD不一定等于∠DAF,
∴△AE′F不一定是等腰三角形,故D错误.
故选D.
2.①②③ [解析]如图,设BE,DG相交于点O,
∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形,∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE,即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中,
BC=CD,∠BCE=∠DCG,CE=CG,
∴△BCE≌△DCG(SAS),
∴BE=DG,∠1=∠2.
∵∠1+∠4=∠1+∠3=90°,∴∠2+∠3=90°,∴∠BOD=90°,∴BE⊥DG,故①②正确;
连接BD,EG,如图所示,
∵DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2,EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2,
∴DE2+BG2=DO2+EO2+BO2+OG2=2a2+2b2,故③正确.
/
3.解:在正方形ABCD中,OB=OA,∠AOB=90°,∠OAE=∠OBF=45°.
在正方形A1B1C1O中,∠A1OC1=90°,
∴∠AOE=∠BOF.
在△AOE和△BOF中,∠OAE=∠OBF,OA=OB,∠AOE=∠BOF,
∴△AOE≌△BOF(ASA),
∴重叠部分的面积等于△AOB的面积,
∴重叠部分的面积总等于一个正方形面积的.
4.[解析]观察DG的位置,找包含DG的三角形,要找两条线段相等,只要找到与之全等的三角形,即可找到与之相等的线段.
解:如图,连接BE,则BE=DG.
理由如下:
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,
∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAD-∠BAG=∠EAG-∠BAG,即∠DAG=∠BAE.
在△BAE和△DAG中,
AB=AD,∠BAE=∠DAG,AE=AG,
∴△BAE≌△DAG(SAS),
∴BE=DG.
/
5.[解析] (1)根据正方形的性质,显然△BCG顺时针旋转90°即可得到△DCE,从而判断两条直线之间的关系;
(2)结合正方形的性质,根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE,从而证明结论.
解:(1)BG=DE,BG⊥DE.理由如下:
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,
∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCG=∠DCE.
在△BCG和△DCE中,
BC=DC,∠BCG=∠DCE,CG=CE,
∴△BCG≌△DCE(SAS),
∴BG=DE.
延长BG交DE于点H,如图所示.
∵△BCG≌△DCE,
∴∠CBG=∠CDE.
又∠CBG+∠BGC=90°,∠BGC=∠DGH,
∴∠CDE+∠DGH=90°,
∴∠DHG=90°,
∴BH⊥DE,即BG⊥DE.
/
(2)BG=DE,BG⊥DE仍然成立.
在题图②中证明如下:
∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形,
∴BC=CD,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCG=∠DCE,
∴△BCG≌△DCE(SAS),
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE.
又∵∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90°,
∴∠CDE+∠DHO=90°,
∴∠DOH=90°,
∴BG⊥DE.
6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAP=∠DAP.
在△PAB和△PAD中,AB=AD,∠BAP=∠DAP,AP=AP,
∴△PAB≌△PAD(SAS),∴BP=DP.
(2)不是.反例:当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,点P旋转到BC边上时,DP>DC>BP,此时BP=DP不成立.
(3)连接BE,DF,则BE与DF始终相等.
证明:在题图①中,∵四边形ABCD是正方形,
∴CA平分∠BCD.
∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴PE=PF.
又∠BCD=90°,∴四边形PECF为正方形,
∴EC=FC,∴BE=DF.
在题图②中,连接DF,BE.易知∠DCF=∠BCE.
在△BEC和△DFC中,BC=DC,∠BCE=∠DCF,EC=FC,
∴△BEC≌△DFC(SAS),∴BE=DF.
7.解:(1)答案不唯一,如连接AO,DE,
则AO⊥DE.
理由:如图所示,∵在Rt△ADO和Rt△AEO中,AD=AE,AO=AO,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
/
∴∠DAO=∠EAO(即AO平分∠DAE),
∴AO⊥DE(等腰三角形的三线合一).
(2)∵四边形AEOD的面积为cm2,
∴△ADO的面积==cm2.
∵AD=2cm,∴DO=cm.
在Rt△ADO中,AO==,
∴∠DAO=30°,∴∠EAD=60°,
∴∠EAB=30°,即n=30°.
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