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北师大九年级数学上思维特训(十)有答案:几何动态问题中的相似
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:试题、练习
上传日期:2018/10/11  
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思维特训(十) 几何动态问题中的相似
/
1.我们以运动的观点探究几何图形的变化规律的问题称为动态几何问题.随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中,伴随着出现的图形的位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题.
2.点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上,设计一个或几个动点,并对这些点在运动变化的过程中产生的数量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究.
3.解决此类动点几何问题常用的是“类比发现法”,也就是通过对两个或几个相类似数学研究对象的异同,进行观察和比较,从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手,去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质,从而获得相关结论.类比发现法大致可遵循如下步骤:
(1)根据已知条件,先从动态的角度去分析观察可能出现的情况;
(2)结合某一相应图形,以静制动,运用所学知识(常见的有三角形全等、三角形相似等)得出相关结论;
(3)类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质.
/
1.如图10-S-1,∠A=∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,在边AB上取点P,使得△PAD与△PBC相似,则这样的点P共有(  )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
/
图10-S-1
2.如图10-S-2,在△ABC中,AB=7,AC=,BC=8,线段BC所在直线以每秒2个单位长度的速度沿BA方向运动,并始终保持与原位置平行.该直线与AB,AC分别交于点M,N,记x秒时,该直线在△ABC内的部分的长度为y,试写出y关于x的函数表达式:__________.
/
图10-S-2
3.已知:如图10-S-3①,在?ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,AC⊥AB.将△ACD沿AC方向匀速平移得到△PNM,速度为1 cm/s;同时,点Q从点C出发,沿CB方向匀速移动,速度为1 cm/s;当△PNM停止平移时,点Q也停止移动,如图②.设移动时间为ts(0<t<4),连接PQ,MQ,MC.解答下列问题:
/
图10-S-3
(1)当t为何值时,PQ∥MN?
(2)设△QMC的面积为ycm2,求y与t之间的函数表达式.
(3)是否存在某一时刻t,使S△QMC∶S四边形ABQP=1∶4?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(4)是否存在某一时刻t,使PQ⊥MQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.













4.如图10-S-4,OF是∠MON的平分线,点A在射线OM上,P,Q是直线ON上的两动点,点Q在点P的右侧,且PQ=OA,作线段OQ的垂直平分线,分别交直线OF,ON于点B,C,连接AB,PB.
(1)如图①,当P,Q两点都在射线ON上时,请直接写出线段AB与PB的数量关系.
(2)如图②,当P,Q两点都在射线ON的反向延长线上时,线段AB,PB是否还存在(1)中的数量关系?若存在,请写出证明过程;若不存在,请说明理由.
(3)如图③,∠MON=60°,连接AP,设=k,当P和Q两点都在射线ON上移动时,k是否存在最小值?若存在,请直接写出k的最小值;若不存在,请说明理由.
/
图10-S-4












5.如图10-S-5①,矩形ABCD的两条边在坐标轴上,点D与坐标原点O重合,且AD=8,AB=6.如图②,矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动,同时点P从点A出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动,当点P到达点C时,矩形ABCD和点P同时停止运动,设点P的运动时间为t秒.
(1)当t=5时,请直接写出点D,P的坐标;
(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时,求出△PBD的面积S关于t的函数表达式,并写出相应的t的取值范围;
(3)当点P在线段AB或线段BC上运动时,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,当△PEO与△BCD相似时,求出相应的t值.
/
图10-S-5









6.2017·永州已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点.
(1)如图10-S-6①,若E是OD的中点,F是AB上一点,且使得∠CEF=90°,过点E作ME∥AD,交AB于点M,交CD于点N.
求证:①∠AEM=∠FEM;②F是AB的中点.
(2)如图②,若E是OD上一点,F是AB上一点,且使==,请判断△EFC的形状,并说明理由.
(3)如图③,若E是OD上的动点(不与O,D重合),连接CE,过点E作EF⊥CE,交AB于点F,当=时,请猜想的值(请直接写出结论).
/
图10-S-6












7.如图10-S-7①,在直角坐标系xOy中,直线l:y=kx+b分别交x轴、y轴于点E,F,点B的坐标是(2,2),过点B分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,C,D是线段CO上的动点,以BD为对称轴,作与△BCD成轴对称的△BC′D.
(1)当∠CBD=15°时,求点C′的坐标.
(2)当图①中的直线l经过点A,且k=-时(如图②),求点D由点C到点O的运动过程中,线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积.
(3)当图①中的直线l经过点D,C′时(如图③),以DE为对称轴,作与△DOE成轴对称的△DO′E,连接O′C,O′O,是否存在点D,使得△DO′E与△CO′O相似?若存在,请求出k,b的值;若不存在,请说明理由.
/
图10-S-7

详解详析
1.C [解析]设AP=x,则PB=AB-AP=7-x,
当△PDA∽△CPB时,=,即=,
解得x=1或x=6;
当△PDA∽△PCB时,=,即=,
解得x=.则这样的点P共有3个.
故选C.
2.y=-x+8
3.解:(1)如图①所示.
在△ABC中,AB=3 cm,BC=5 cm,∠A=90°,由勾股定理,得AC=4 cm.
若PQ∥MN,则PQ∥AB,∴=.
∵CQ=PA=tcm,CP=(4-t)cm,QB=(5-t)cm,
∴=,
解得t=.
经检验,t=是原方程的解且符合题意.
故当t的值为时,PQ∥MN.
/
(2)如图②所示,过点P作PD⊥BC于点D,则△CPD∽△CBA,
/
∴=.
∵BA=3 cm,CP=(4-t)cm,BC=5 cm,
∴=,∴PD=(4-t)cm.
又∵CQ=tcm,
∴y=×(4-t)t=-t2+t(0<t<4).
(3)存在.
∵S△QMC∶S四边形ABQP=1∶4,
S△QMC=-t2+t,
S四边形ABQP=S△ABC-S△PCQ=S△ABC-S△QMC=×3×4-=t2-t+6,
∴∶=1∶4,
即t2-4t+4=0,解得t1=t2=2,
∴当t=2时,S△QMC∶S四边形ABQP=1∶4.
(4)存在.
如图③所示,过点M作ME⊥BC交BC的延长线于点E,过点P作PD⊥BC于点D,
则△CPD∽△CBA,
/
∴==.
∵BA=3 cm,CP=(4-t)cm,BC=5 cm,CA=4 cm,
∴==,
∴PD=(4-t)cm,CD=(4-t)cm.
∵PQ⊥MQ,∴∠PQD+∠MQE=90°.
又∵∠PDQ=∠E=90°,
∴∠PQD+∠DPQ=90°,
∴∠DPQ=∠MQE,
∴△PDQ∽△QEM,
∴=,
即PD·EM=QE·DQ.
∵EM=PD=(4-t)=cm,
DQ=CD-CQ=(4-t)-t=cm,
QE=DE-DQ=5-(-t)=(+t)cm,
∴(-t)2=(+t)(-t),
即2t2-3t=0,
解得t=(t=0舍去).
∴当t=时,PQ⊥MQ.
4.
/
解:(1)AB=PB.
理由:如图①,连接BQ.
∵BC垂直平分OQ,∴BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQO.
∵OF平分∠MON,
∴∠AOB=∠BOQ
∴∠AOB=∠BQO.
又∵OA=PQ,∴△AOB≌△PQB,∴AB=PB.
(2)存在.
证明:如图②,连接BQ.
/
∵BC垂直平分OQ,∴BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQO.
∵OF平分∠MON,∠BOQ=∠FON,∴∠AOF=∠FON=∠BQC,
∴∠BQP=∠AOB.
又∵OA=PQ,∴△AOB≌△PQB,∴AB=PB.
(3)如图③,连接BQ.
/
易证△ABO≌△PBQ,
∴∠OAB=∠BPQ,AB=PB.
∵∠OPB+∠BPQ=180°,
∴∠OPB+∠OAB=180°,∠AOP+∠ABP=180°.
∵∠MON=60°,∴∠ABP=120°.
∵AB=PB,∴∠BAP=∠BPA=30°.
∵BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQO=30°,
∴△ABP∽△OBQ,∴=.
∵∠AOB=30°,∴当BA⊥OM时,的值最小,最小值为0.5,∴k存在最小值,最小值为0.5.
5.解:(1)D(-4,3),P(-12,8).
(2)当点P在边AB上,即0≤t≤6时,BP=6-t,
S=BP·AD=(6-t)·8=-4t+24;
当点P在边BC上,即6<t≤14时,BP=t-6,
S=BP·AB=(t-6)·6=3t-18,
所以S=
(3)易求D(-t,t),
①当点P在边AB上时,点P(-t-8,t),
若=,则=,解得t=6;
若=,则=,解得t=20.
∵0≤t≤6,∴t=20不合题意,应舍去.
②当点P在边BC上时,点P(-14+t,t+6),
若=,则=,解得t=6;
若=,则=,解得t=.
∵6<t≤14,∴t=不合题意,应舍去.
综上,当t=6时,△PEO与△BCD相似.
6.解:(1)证明:①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABD=45°,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AE=CE.
∵ME∥AD,∴ME⊥AB,∠AME=∠BME=∠BAD=90°,∠ENC=∠ADC=90°,
∴△BME是等腰直角三角形,四边形BCNM是矩形,∴BM=EM,BM=CN,∴EM=CN.
在Rt△AME和Rt△ENC中,
AE=CE,EM=CN,
∴Rt△AME≌Rt△ENC(HL),
∴∠AEM=∠ECN.
∵∠CEF=90°,∴∠FEM+∠CEN=90°.
∵∠ECN+∠CEN=90°,∴∠FEM=∠ECN,∴∠AEM=∠FEM.
②在△AME和△FME中,∠AME=∠FME=90°,∠AEM=∠FEM,
∴∠EAF=∠EFA,∴AE=FE.
又∵ME⊥AF,∴AM=FM,∴AF=2AM.
∵E是OD的中点,O是BD的中点,
∴=.
∵ME∥AD,∴==,∴=,
∴F是AB的中点.
(2)△EFC是等腰直角三角形.理由如下:
过点E作ME∥AD,交AB于点M,交CD于点N.
同(1)得:AE=CE,Rt△AME≌Rt△ENC,
∴∠AEM=∠ECN.
∵=,O是DB的中点,∴=.
∵ME∥AD,∴==.
∵=,∴AF=2AM,即M是AF的中点.
∵ME⊥AB,∴AE=FE,
∴∠AEM=∠FEM,FE=CE.
∵∠ECN+∠CEN=90°,
∴∠FEM+∠CEN=90°,
∴∠CEF=90°,
∴△EFC是等腰直角三角形.
(3)当=时,=.
7.解:(1)∵△BCD≌△BC′D,
∴∠CBD=∠C′BD=15°,C′B=CB=2,
∴∠CBC′=30°.
如图①,过点C′作C′H⊥BC于点H,则C′H=1,HB=,
/
∴CH=2-,
∴点C′的坐标为(2-,1).
(2)如图②,
/
∵k=-,
∴设直线AF的函数表达式为y=-x+b.
∵直线l过点A(2,0),∴b=,
则直线AF的函数表达式为y=-x+,
∴∠OAF=30°,∠BAF=60°.
在点D由点C到点O的运动过程中,BC′扫过的图形是以点B为圆心,BC为半径的扇形.
把点C′的坐标代入y=-x+,知点C′在直线l上,
∴BC′扫过的图形与△OAF的重叠部分是弓形.
∵BC′=BC=AB,
∴△ABC′是等边三角形,∠ABC′=60°,
∴重叠部分的面积是-×2×=π-.
(3)如图③,设OO′与DE相交于点M,则O′M=OM,OO′⊥DE.
/
若△DO′E与△CO′O相似,则△CO′O是直角三角形.
在点D由点C到点O的运动过程中,△CO′O中显然只能是∠CO′O=90°,
∴CO′∥DE,
∴CD=OD=1,
∴b=1.
连接BE,由轴对称的性质可知C′D=CD,BC′=BC=BA,∠BC′E=∠BC′D=∠BAE=90°.
在Rt△BAE和Rt△BC′E中,
∵BE=BE,BA=BC′,
∴Rt△BAE≌Rt△BC′E(HL),
∴AE=C′E,
∴DE=DC′+C′E=DC+AE.
设OE=x,则AE=2-x,
∴DE=DC+AE=3-x.
在Rt△ODE中,由勾股定理,得x2+1=(3-x)2,
解得x=,
∴E,
∴k+1=0,
解得k=-,
∴存在点D,使得△DO′E与△CO′O相似,这时k=-,b=1.
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