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北师大九年级上思维特训(三)有答案:四边形中几种辅助线的小结-(数学)
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:试题、练习
上传日期:2018/10/11  
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思维特训(三) 四边形中几种辅助线的小结
/
1.截长补短法:通过将最长线段截成较短的两部分或将较短线段延长构造全等三角形解决线段的和差倍分问题.
2.在三角形中,已知一边的中点,常在另一边上找一中点,从而构造中位线解决问题.
3.在直角三角形中,常作斜边上的中线得等腰三角形,然后利用图形的性质等解决问题.
/
类型一 连接对角线解决问题
1.如图3-S-1,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E,F在对角线AC上,且∠ABF=∠CDE,AE=CF.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)当四边形ABCD满足什么条件时,四边形BFDE是菱形?为什么?
/
图3-S-1



2.如图3-S-2,四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,点E,G分别在AD,CD上,连接AF,BF,CF.
(1)求证:AF=CF;
(2)若∠BAF=35°,求∠BFC的度数.
/
图3-S-2





类型二 截长补短法解决线段问题
3.如图3-S-3,在正方形ABCD中,P是AB的中点,连接DP,过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E,过点A作AF⊥AE交DP于点F,连接BF.
(1)若AE=1,求EF的长;
(2)求证:PF=EP+EB.
/
图3-S-3






4.如图3-S-4,E是正方形ABCD的边BC上的一点,∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F,交CD于点G.
(1)若AB=8,BF=16,求CE的长;
(2)求证:AE=BE+DG.
/
图3-S-4






5.在正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N,AH⊥MN于点H.
(1)如图3-S-5①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:________.
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立,请写出理由;如果成立,请证明.
(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)中得到的结论)
/
图3-S-5







类型三 构造三角形的中位线解决问题
6.如图3-S-6,在四边形ABCD中,AC⊥BD,BD=12,AC=16,E,F分别为AB,CD的中点,求EF的长.
/
图3-S-6








7.如图3-S-7,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点F在AC上,AF=FC,AD与BF相交于点E.求证:E是AD的中点.
/
图3-S-7




类型四 构造直角三角形斜边上的中线解决问题
8.如图3-S-8,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是边AC,BD的中点.求证:MN⊥BD.
/
图3-S-8




9.如图3-S-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,点E在边AC上,AB=DE,AD∥BC.
求证:∠CBA=3∠CBE.
/
图3-S-9

详解详析
1.解:(1)证明:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA.
∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
在△ABF和△CDE中,
∠BAC=∠DCA,∠ABF=∠CDE,AF=CE,
∴△ABF≌△CDE(AAS).
(2)当四边形ABCD满足AB=AD时,四边形BFDE是菱形.理由如下:
连接BD交AC于点O,如图所示.
由(1)得△ABF≌△CDE,
∴AB=CD,BF=DE,∠AFB=∠CED,
∴BF∥DE.
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC.
∵BF=DE,BF∥DE,
∴四边形BFDE是平行四边形.
又∵BD⊥AC,∴四边形BFDE是菱形.
/
2.解:(1)证明:∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,
∴AD=CD,ED=GD,FE=FG,
∴AD-ED=CD-GD,∴AE=CG.
在△AFE和△CFG中,
AE=CG,∠AEF=∠CGF=90°,FE=FG,
∴△AFE≌△CFG(SAS),∴AF=CF.
(2)由(1)得△AFE≌△CFG,
∴∠AFE=∠CFG.
又∵AB∥EF,∠BAF=35°,
∴∠AFE=∠CFG=∠BAF=35°.
连接DF,如图,∵四边形DEFG是正方形,
∴∠DFG=45°,
∴∠BFC=180°-∠CFG-∠DFG=180°-35°-45°=100°.
/
3.解:(1)∵在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,
∴∠DAF+∠BAF=90°.
∵AF⊥AE,
∴∠BAE+∠BAF=90°,
∴∠BAE=∠DAF.
∵BE⊥DP,
∴∠ABE+∠BPE=90°.
又∵∠ADF+∠APD=90°,∠BPE=∠APD(对顶角相等),
∴∠ABE=∠ADF.
在△ABE和△ADF中,∠ABE=∠ADF,AB=AD,∠BAE=∠DAF,
∴△ABE≌△ADF(ASA),
∴AE=AF,
∴△AEF是等腰直角三角形.
∵AE=1,
∴EF=AE=×1=.
(2)证明:如图,过点A作AM⊥EF于点M.
/
∵△AEF是等腰直角三角形,
∴AM=MF=EM.
∵P是AB的中点,
∴AP=BP.
又∵∠APM=∠BPE,∠AMP=∠BEP=90°,
∴△AMP≌△BEP(AAS),
∴PM=EP,AM=EB.
∵PF=PM+MF,
∴PF=EP+EB.
4.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,AB=8,
∴AB=BC=8,∠B=90°,AD∥BC,
∴∠DAG=∠F.
∵AF平分∠DAE,
∴∠DAG=∠EAF,
∴∠EAF=∠F,
∴AE=EF.
设CE=x,
则BE=8-x,EF=AE=8+x.
在Rt△ABE中,由勾股定理得82+(8-x)2=(8+x)2,
解得x=2,
即CE=2.
(2)证明:如图,延长CB到点M,使BM=DG,连接AM.
/
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=∠ABM=90°,AD=AB,AB∥CD,
∴∠3=∠2+∠5=∠4.
在△ABM和△ADG中,AB=AD,∠ABM=∠D,BM=DG,
∴△ABM≌△ADG(SAS),
∴∠M=∠4,∠6=∠1.
∵∠1=∠2(角平分线的定义),
∴∠2=∠6,∴∠4=∠M=∠3=∠2+∠5=∠6+∠5,
即∠M=∠MAE,∴AE=ME.
∵BM=DG,∴AE=BE+DG.
5.解:(1)AH=AB
(2)还成立.
证明:如图,延长CB至点E,使BE=DN.
/
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°.
在Rt△AEB和Rt△AND中,
AB=AD,∠ABE=∠D,BE=DN,
∴Rt△AEB≌Rt△AND,
∴AE=AN,∠EAB=∠NAD,
∴∠EAM=∠NAM=45°.
在△AEM和△ANM中,
AE=AN,∠EAM=∠NAM,AM=AM,
∴△AEM≌△ANM,
∴S△AEM=S△ANM,EM=MN.
又∵AB,AH分别是△AEM和△ANM对应边上的高,
∴AH=AB.
(3)如图,分别沿AM,AN翻折△AMH和△ANH,得到△AMB和△AND,
∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°.
分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,
由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.
设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3,
在Rt△MCN中,由勾股定理,得MN2=MC2+NC2,
∴52=(x-2)2+(x-3)2,
解得x1=6,x2=-1(不符合题意,舍去).
∴AH的长为6.
/
6.解:如图,取边BC的中点G,连接EG,FG.
/

∵E,F分别为AB,CD的中点,
∴EG是△ABC的中位线,FG是△BCD的中位线,
∴EG綊AC,FG綊BD.
又∵BD=12,AC=16,AC⊥BD,
∴EG=8,FG=6,EG⊥FG.
在Rt△EGF中,由勾股定理,得
EF===10,
即EF的长是10.
7.证明:如图,取CF的中点M,连接DM.
/
∵AF=FC,
∴AF=FM=CM.
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,
∴DM是△BFC的中位线,
∴DM∥BF.
∵AF=FM,
∴AE=DE,
即E是AD的中点.
8.证明:如图,连接BM,DM.
/
∵∠ABC=∠ADC=90°,
M是AC的中点,
∴BM=DM=AC.
∵N是BD的中点,
∴MN⊥BD.
9.证明:如图,取DE的中点F,连接AF.
/
∵AD∥BC,
∠C=90°,∴∠DAE=∠C=90°,
∴AF=DF=EF=DE.
∵AB=DE,
∴DF=AF=AB,
∴∠D=∠DAF,∠AFB=∠ABF,
∴∠AFB=∠D+∠DAF=2∠D,
∴∠ABF=2∠D.
∵AD∥BC,∴∠CBE=∠D,
∴∠CBA=∠CBE+∠ABF=3∠CBE.
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