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九年级数学上思维特训(十二)有答案:全等与相似的综合应用-(北师大版)
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:试题、练习
上传日期:2018/10/11  
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思维特训(十二) 全等与相似的综合应用
/
形状相同的两个图形称为相似图形.若两个图形不仅形状相同,而且大小也相等,则二者是全等图形.全等是相似的特殊情况,全等图形可以看作是相似比为1的特殊的相似图形.证明全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”,证明相似的方法有“三边对应成比例的两个三角形相似”“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”“两角分别相等的两个三角形相似”等.
/
类型一 与相似有关的多结论问题
1.如图12-S-1,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BM是AC边上的中线,点D,E分别在边AC和BC上,DB=DE,EF⊥AC于点F,有以下结论:
(1)∠DBM=∠CDE;(2)S△BDE<S四边形BMFE;
(3)CD·EN=BN·BD;(4)AC=2DF.
其中正确的结论有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
/
图12-S-1
   
2.如图12-S-2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形,连接CE交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE.下列结论中:①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④CD·AE=EF·CG.其中一定正确的有(  )
/
图12-S-2
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如图12-S-3,菱形ABCD中,AB=AC,E,F分别为边AB,BC上的点,且AE=BF,连接CE,AF交于点H,则下列结论:①△ABF≌△CAE;②∠AHC=120°;③△AEH∽△CEA;④AE·AD=AH·AF.其中正确的结论有(  )
/
图12-S-3
A.1个B.2个C.3个D.4个
类型二 全等三角形与相似三角形的综合
4.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图12-S-4①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE.
(2)如图12-S-4②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长.
/
图12-S-4


5.在△AOB中,C,D分别是边OA,OB上的点,将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′的位置.
(1)如图12-S-5①,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点,求证:①AC′=BD′;②AC′⊥BD′.
(2)如图②,若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ,CD∥AB,AC′与BD′相交于点E,猜想∠AEB=θ是否成立,请说明理由.
/
图12-S-5





6.2017·襄阳如图12-S-6,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中线,AC=BC,一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转,使角的两边分别与AC,BC的延长线相交,交点分别为E,F,DF与AC相交于点M,DE与BC相交于点N.
(1)如图①,若CE=CF,求证:DE=DF.
(2)如图②,在∠EDF绕点D旋转的过程中:
①探究线段AB,CE,CF之间的数量关系,并说明理由;
②若CE=4,CF=2,求DN的长.
/
图12-S-6





7.如图12-S-7,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA,GB,GC,GD,EF.若∠AGD=∠BGC.
(1)求证:AD=BC;
(2)求证:△AGD∽△EGF;
(3)如图②,若AD,BC所在直线互相垂直,求的值.
/
图12-S-7





类型三 与全等、相似三角形有关的探究型问题
8.在△ABC中,∠ACB=90°,经过点B的直线l(不与直线AB重合)与直线BC的夹角∠DBC=∠ABC,分别过点C,A作直线l的垂线,垂足分别为D,E.
(1)问题发现
①若∠ABC=30°,如图①,则=________;
②若∠ABC=45°,如图②,则=________.
(2)拓展探究
当0°<∠ABC<90°,的值有无变化?请仅就图③的情形给出证明.
(3)问题解决
随着△ABC位置的变化,若直线CE,AB相交于点F,且=,CD=4,请直接写出线段BD的长.
///
图12-S-8

详解详析
1.C [解析]∵DB=DE,
∴∠DBE=∠DEB,
∴∠DBM+∠MBC=∠CDE+∠C.
∵AB=BC,∠ABC=90°,BM是AC边上的中线,
∴∠C=45°,BM⊥AC,
∴∠MBC=∠C=45°,
∴∠DBM=∠CDE,故(1)正确;
∵∠DBM=∠CDE,∠DMB=∠EFD,DB=DE,
∴△BMD≌△DFE,
∴S△BMD=S△DFE,
∴S四边形BDFE-S△DFE=S四边形BDFE-S△BMD,
∴S△BDE=S四边形BMFE.故(2)错误;
∵∠DBC=∠BEN,∠DCB=∠EBN,
∴△BCD∽△EBN,
∴=,∴CD·EN=BN·BD.
故(3)正确;
∵△BMD≌△DFE,
∴BM=DF.
又∵∠ABC=90°,BM是AC边上的中线,
∴BM=AC,
∴AC=2DF.故(4)正确.
故选C.
2.D [解析]①利用SAS证明△CAE≌△BAD,可得到CE=BD;
②利用平行四边形的性质可得AE=CD,再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形;
③利用SAS证明△BAD≌△BAE可得到∠ADB=∠AEB;
④利用已知得出∠GFD=∠AFE,结合①得∠GDF+∠GFD=90°.由平行四边形的性质得∠GCD=∠AEF,进而得出△CGD∽△EAF,得出比例式.
3.D [解析]由菱形ABCD中,AB=AC,易证得△ABC是等边三角形,则可得∠B=∠EAC=60°,由SAS即可证得△ABF≌△CAE,则可得∠BAF=∠ACE;利用三角形外角的性质,即可求得∠AHC=120°;由∠BAF=∠ACE,∠AEC=∠AEC,推出△AEH∽△CEA;在菱形ABCD中,AD=AB,由于△AEH∽△CEA,△ABF≌△CAE,于是△AEH∽△AFB,得到AE·AD=AH·AF.
4.解:(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°,AB=AC.
∵AP=AQ,∴BP=CQ.
∵E是BC的中点,∴BE=CE.
在△BPE和△CQE中,
∵BE=CE,∠B=∠C,BP=CQ,
∴△BPE≌△CQE(SAS).
(2)证明:∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∴∠B=∠C=∠DEF=45°.
∵∠BEQ=∠EQC+∠C,即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,
∴∠BEP=∠EQC,∴△BPE∽△CEQ,
∴=.
∵BP=2,CQ=9,BE=CE,∴BE2=18,∴BE=CE=3,∴BC=6.
5.解:(1)证明:①∵△OCD旋转到△OC′D′,
∴OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′.
∵OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点,
∴OC=OD,∴OC′=OD′.
在△AOC′和△BOD′中,OA=OB,∠AOC′=∠BOD′,OC′=OD′,
∴△AOC′≌△BOD′(SAS),∴AC′=BD′.
②延长AC′交BD′于点E,交BO于点F,如图所示.
/
∵△AOC′≌△BOD′,
∴∠OAC′=∠OBD′.
又∠AFO=∠BFE,∠OAC′+∠AFO=90°,
∴∠OBD′+∠BFE=90°,
∴∠BEA=90°,
∴AC′⊥BD′.
(2)∠AEB=θ成立,理由如下:
设AC′交BO于点F.
∵△OCD旋转得到△OC′D′,
∴OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′.
∵CD∥AB,
∴=,
∴=,即=.
又∠AOC′=∠BOD′,
∴△AOC′∽△BOD′,
∴∠OAC′=∠OBD′.
又∠AFO=∠BFE,
∴∠AEB=∠AOB=θ.
6.解:(1)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC,AD=BD,
∴∠BCD=∠ACD=45°,∠BCE=∠ACF=90°,∴∠DCE=∠DCF=135°.
在△DCE和△DCF中,
CE=CF,∠DCE=∠DCF,CD=CD,
∴△DCE≌△DCF,∴DE=DF.
(2)①AB2=4CE·CF.理由:
∵∠DCF=∠DCE=135°,
∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°.
又∵∠CDF+∠CDE=45°,∴∠F=∠CDE,
∴△CDF∽△CED,
∴=,即CD2=CE·CF.
∵∠ACB=90°,AC=BC,AD=BD,∴CD=AB,∴AB2=4CE·CF.
/
②如图,过点D作DG⊥BC于点G,则∠DGN=∠ECN=90°,CG=DG.
当CE=4,CF=2时,由CD2=CE·CF得CD=2.
∴在Rt△DCG中,CG=DG=2.
∵∠ECN=∠DGN,∠ENC=∠DNG,
∴△CEN∽△GDN,∴==2,
∴GN=CG=,
∴DN==.
7.解:(1)证明:∵GE是AB的垂直平分线,∴GA=GB.同理GD=GC.
在△AGD和△BGC中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC,
∴△AGD≌△BGC,∴AD=BC.
(2)证明:∵∠AGD=∠BGC,
∴∠AGB=∠DGC.
由(1)知△AGD≌△BGC,得=.
在△AGB和△DGC中,
=,∠AGB=∠DGC,
∴△AGB∽△DGC,∴=,即=.
又易知∠AGE=∠DGF,∴∠AGD=∠EGF,
∴△AGD∽△EGF.
(3)如图,延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AH⊥BH.
由△AGD≌△BGC,得∠GAD=∠GBC.
在△GAM和△HBM中,∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB,
∴∠AGB=∠AHB=90°,
∴∠AGE=∠AGB=45°,
∴=.
又△AGD∽△EGF,∴==.
/
8.解:(1)①如图,∵CD⊥BD,∴∠CDB=90°.
∵∠DBC=∠ABC=30°,∴CD=BC.
在△ABC和△BAE中,
∠ACB=∠AEB=90°,∠BAE=∠ABC=30°,AB=BA,∴△ABC≌△BAE(AAS),
∴BC=AE,∴CD=AE,∴=.
②如图①,过点C作CF⊥AB于点F,
∵∠ABC=45°,∠ACB=90°,∴△ACB是等腰直角三角形.
∵∠CBD=45°,∴∠ABD=90°.
又∵AE⊥BD,∴点B与点E重合,∴EF=AE.
∵CD⊥BD,∴四边形CDEF为矩形,∴EF=CD,∴CD=AE,∴=.
/   /
(2)的值无变化.
理由:如图②,延长AC与直线l交于点G,
∵∠ACB=90°,∠DBC=∠ABC,∴∠AGB=∠BAG,∴BA=BG.
又∵BC⊥AG,∴C是AG的中点.
∵AE⊥l,CD⊥l,∴CD∥AE,
∴△GCD∽△GAE,∴==.
(3)分两种情况:①如图③,当点F在线段AB上时,过点C作CG∥l交AE于点H,交AB于点G,∴∠DBC=∠HCB.
∵∠DBC=∠CBF,∴∠CBF=∠HCB,
∴CG=BG.
∵∠ACB=90°,∴∠CAG+∠CBF=∠HCB+∠ACG=90°,∴∠ACG=∠CAG,
∴CG=AG=BG.
∵CG∥l,∴△CFG∽△EFB,∴==.
设CG=5x,BE=6x,则AB=10x.
∵∠AEB=90°,∴AE=8x,由(2)得AE=2CD.
∵CD=4,∴AE=8=8x,∴x=1,
∴AB=10,BE=6,CG=5.
∵GH∥l,∴△AGH∽△ABE,∴==,∴HG=3,
∴CH=CG+HG=8.
∵CG∥l,CD∥AE,∴四边形CDEH为平行四边形,
∴DE=CH=8,∴BD=DE-BE=2;
/   /
②如图④,当点F在线段BA的延长线上时,过点C作CG∥l,交AE于点H,交AB于点G,同理可得CG=5,BE=6,HG=3,
∴DE=CH=CG-HG=2,
∴BD=DE+BE=8.
综上所述,线段BD的长为2或8.
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